Сторон фигуры периметр прямоугольника. Что такое периметр? Как найти периметр

Как вычислять периметр?

Нам частенько приходилось слышать от учителей: "Занимайтесь прилежно, знания очень пригодятся вам в жизни", и, действительно, такое случается. Например, когда мы беремся за ремонт, нам совершенно необходимо знать, как рассчитать периметр той или иной фигуры, чтобы определить требуемое количество строительного материала. В этой статье для тех, кто забыл школьный курс, расскажем о том, как вычислять периметр различных фигур.

Что такое периметр?

Периметр - это длина линии, очерчивающей геометрическую фигуру; длина всех сторон плоской фигуры. Таким образом, чтобы найти периметр фигуры, достаточно измерить длину каждой стороны и сложить все результаты. Однако иногда можно сделать расчет более простым способом с помощью специальных формул. Далее разберем способы нахождения периметра различных фигур с помощью обоих методов.

Периметр треугольника

Перед тем как вычислить периметр треугольника, необходимо измерить длину каждой стороны. После этого просто сложите их - это и будет периметр.

Однако если мы имеем дело с равнобедренным треугольником, можно измерить одну из равных сторон и умножить полученное значение на два, а затем прибавить к нему длину основания.

Для вычисления периметра равностороннего треугольника, достаточно и вовсе померить только одну сторону и умножить полученное значение на три.

Периметр четырехугольника

Разберем в данном разделе, как вычислить периметр квадрата, ромба, прямоугольника, параллелепипеда и трапеции.

Квадрат и ромб

Как известно, у квадрата четыре стороны и все они равны, а значит, для вычисления периметра квадрата необходимо померить одну из его сторон, а затем умножить полученное значение на 4. Собственно говоря, точно так же находится периметр ромба, потому как у ромба все стороны равны.

Прямоугольник и параллелограмм

У прямоугольника стороны равны попарно, таким образом, для вычисления периметра, потребуется померить большую и меньшую сторону, каждое из полученных значений умножить на два и сложить получившиеся значения. Аналогично находится периметр параллелограмма.

Трапеция

Еще один тип четырехугольника - трапеция. У этой фигуры, как правило, все стороны разной длины, а потому для нахождения периметра придется измерить каждую сторону и сложить их. Однако трапеция может быть равнобедренной. В таком случае для расчета периметра можно воспользоваться следующей формулой: P = a+b+2c, где c - длина одной из равных сторон.

Существует, кстати, еще один способ определения периметра равнобедренной трапеции - так называемый "метод средней линии". Сначала нужно провести эту самую среднюю линию (она проводится через две точки - середины равных сторон), затем надо измерить ее, умножить полученное значение на два и прибавить две длины равных сторон.

Периметр многоугольника

Для нахождения периметра многоугольника, как правило, действует правило - измерь все стороны и сложи их. Однако некоторые частные случаи позволяют более просто справиться с задачей. Например, если перед вами так называемый правильный шестиугольник, его периметр можно посчитать, умножив длину стороны на 6.

Для расчета периметра круга или, как говорят чаще, длины окружности, существует специальная формула: P=2πr, где π - постоянное значение, равное 3,14; r - радиус окружности. Формула также может выглядеть так: P=πd, где d- диаметр окружности.

Кстати, фактически π - это отношение длины окружности к ее диаметру. Доказано, что это значение для всех окружностей одинаково и равно 3,14.

Инструкция

Если измеряемый многоугольник правильный, то есть у него все стороны и углы равны, то для нахождения периметра измерьте длину одной из его сторон с помощью линейки. Затем посчитайте количество , которое равно количество его сторон. Получившееся число умножьте на длину стороны фигуры. Это будет многоугольника.

Если многоугольник симметричный и имеет 2 или 4 пары равного набора сторон, то измерьте сначала длину сторон на одном из повторяющихся участков. Затем сложите полученные значения и для получения периметра фигуры умножьте эту сумму на количество повторяющихся частей в многоугольнике.

Источники:

• единица измерения периметра

Нахождение периметра пятиугольника - задача, требующая обширных теоретических знаний, пространственного и логического мышления. Важно также и правильно оформить решение.

Вам понадобится

• - Тетрадь;
• - линейка;
• - карандаш;
• - ручка;
• - калькулятор.

Инструкция

Пятиугольник – это многоугольник с . Пятиугольники правильными и неправильными. Правильный пятиугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой.

Неправильный пятиугольник – это многоугольник, стороны и углы которого не равны. В базовом курсе чаще рассматриваются правильные пятиугольники.

Если в задаче дано, что сторона правильного пятиугольника АВСDF равна 5 см, то периметр его будет равен:

В данном случае вы просто умножаете длину стороны пятиугольника на количество сторон, т.к. все они равны между собой (Рис.1).

Если же в задании вам встретился неправильный пятиугольник, то вы должны сначала найти длину каждой его стороны, а потом сложить их.

К , в задаче говорится, что ВО = 8, ОF = 4, ВС = 7, угол ВОА = 90, угол ОАМ = 45, ОМ = 3, АВ = DF, ВС = СD. Вначале рассмотрите треугольник АОВ: ВО = 8. Из условия следует, что АО = ОF = 4. Треугольник АОВ является . АО и ОF – катеты, АВ – гипотенуза. По теореме Пифагора, квадрат равен сумме квадратов катетов.

Следовательно, АВ ^2 = АО ^2 + ОF ^2.

АВ ^2 = 8^2 + 4^2

АВ ^2 = 64 + 16

АВ = DF = 8,94.

Затем рассмотрите треугольник АОF. АО = ОF = 4, ОМ = 3. Угол АОВ = DОF = 90 (как накрест лежащие). Следовательно, АОМ = ВОD (как накрест лежащие), и АОМ + ВОD = 360 - АОВ + DОF = 180. АОМ = 90.

Отсюда следует, что треугольник АОF – прямоугольный.

Значит угол АМО = АОМ – ОАМ,

АМО = 90 – 45, АМО = 45.

Следовательно, треугольник АОF – равнобедренный. А в равнобедренных треугольниках напротив углов лежат равные стороны. Значит АМ = ОМ = 3.

Отсюда АF = 2АМ = 6.

Теперь вы можете вычислить периметр пятиугольника АВСDF.

Р = 8,94*2+7*2+6

Многоугольник состоит из нескольких отрезков, соединенных между собой и образующих замкнутую линию. Все фигуры этого класса делятся на простые и сложные. К простым относятся треугольник и четырехугольник, а к сложным - многоугольники с большим количеством сторон , а также звездчатые многоугольники.

Инструкция

Наиболее часто в задачах встречается правильный треугольник со сторон ой a. Поскольку многоугольник является правильным, то все три его сторон ы равны. Следовательно, зная медиану и высоту треугольника, можно найти все его сторон ы. Для этого используйте способ нахождения сторон ы :a=x/cosα.Так как сторон ы , т.е. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, где x - высота, медиана или биссектриса.Аналогичным образом находите все три неизвестные сторон ы в равнобедренном треугольнике, но при одном условии - заданной высоте. Она должна проецироваться на основание треугольника. Зная высоту основания x, найдите сторон у a:a=x/cosα.Поскольку a=b, так как треугольник равнобедренный, найдите его сторон ы следующим образом:a=b=x/cosα.После того как вы нашли боковые сторон ы треугольника, вычислите длину основания треугольника, применяя теорему Пифагора для нахождения половины основания:c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^2α)/ cos^2α=xtgα.Отсюда найдите основание:c=2xtgα.

Квадрат представляет собой , сторон ы которого вычисляются несколькими способами. Ниже рассмотрен каждый из них.Первый способ предлагает нахождение сторон ы квадрата. Поскольку все углы у квадрата прямые, данная их пополам таким образом, что образуются два прямоугольных треугольника с углами 45 градусов при . Соответственно, сторон а квадрата равна:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, где d - квадрата.Если квадрат вписан в окружность, то зная радиус этой окружности, найдите его сторон у:a4=R√2, где R - радиус окружности.

У многосторон них многоугольников сторон у вычисляйте последним из способов - путем вписывания многоугольника в окружность. Для этого начертите правильный многоугольник с произвольными сторон ами, а вокруг него окружность с заданным радиусом R.Представьте себе, что в задаче дан некоторый произвольный n-угольник. Если окружность описана около этого многоугольника , то для нахождения сторон ы примените формулу:an=2Rsinα/2.

Видео по теме

Периметром многоугольника называют замкнутую ломаную линию, составленную из всех его сторон. Нахождение длины этого параметра сводится к суммированию длин сторон. Если все отрезки, образующие периметр такой двухмерной геометрической фигуры, имеют одинаковые размеры, многоугольник называется правильным. В этом случае вычисление периметра значительно упрощается.

Инструкция

В самом простом случае, когда известны длина стороны (а) правильного многоугольника и число вершин (n) в нем, для вычисления длины периметра (Р) просто перемножьте эти две величины: Р = а*n. Например, длина периметра со стороной в 15 см должна быть равна 15*6=90 см.

Вычислить периметр такого многоугольника по известному радиусу (R) описанной около него окружности тоже возможно. Для этого сначала выразить длину стороны с использованием радиуса и количества вершин (n), а затем умножить полученную величину на число сторон. Чтобы рассчитать длину стороны умножьте радиус на синус числа Пи, поделенного на количество вершин, а результат удвойте: R*sin(π/n)*2. Если вам удобнее вычислять тригонометрическую функцию в , замените число Пи на 180°: R*sin(180°/n)*2. Периметр вычислите умножением полученной величины на число вершин: Р = R*sin(π/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Например, если шестиугольник вписан в круг с радиусом 50 см, его периметр будет иметь длину 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0,5*12 = 300 см.

Схожим способом можно периметр, не зная длины стороны правильного многоугольника , если он около окружности с известным радиусом (r). В этом случае для вычисления размера стороны фигуры будет отличаться от предыдущей лишь задействованной тригонометрической функцией. Замените в формуле синус на тангенс, чтобы

Геометрия, если не ошибаюсь, в мое время изучалась с пятого класса и периметр был и есть одним из ключевых понятий. Итак, периметр - это сумма длин всех сторон (обозначается латинской литерой P) . Вообще, трактуют данный термин по разному, например,

• общая длина границы фигуры,
• длина всех ее сторон,
• сумма длин ее граней,
• длина ограничивающей фигуру линии,
• сумма всех длин сторон многоугольника

Для различных фигур существуют свои формулы определения периметра. Чтобы понять сам смысл, предлагаю самостоятельно вывести несколько несложных формул:

1. для квадрата,
2. для прямоугольника,
3. для параллелограмма,
4. для куба,
5. для параллелепипеда

Периметр квадрата

Для примера возьмем самое простое - периметр квадрата.

Все стороны квадрата равны. Пусть одна сторона носит название "a" (также, как и остальные три), тогда

P = a + a + a + a

или более компактная запись

Периметр прямоугольника

Усложним задачу и возьмем прямоугольник. В данном случае уже нельзя сказать, что все стороны равны, поэтому пусть длины сторон прямоугольника будут равны a и b.

Тогда формула будет иметь следующий вид:

P = a + b + a + b

Периметр параллелограмма

Аналогичная ситуация будет и с параллелограммом (см. периметр прямоугольника)

Периметр куба

Что же делать, если мы имеем дело с объемной фигурой? Например, возьмем куб. Куб имеет 12 сторон и все они равны. Соответственно, периметр куба можно вычислить следующим образом:

Периметр параллелепипеда

Ну, и для закрепления материала вычислим периметр параллелепипеда. Тут необходимо немного поразмышлять. Давайте делать это вместе. Как мы знаем, прямоугольный параллелепипед представляет собой фигуру, сторонами которой являются прямоугольники. У каждого параллелепипеда есть два основания. Возьмем одно из оснований и посмотрим на его стороны - они имеют длину a и b. Соответственно, периметр основания есть P = 2a + 2b. Тогда периметр двух оснований есть

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Но ведь у нас есть еще и сторона "c". Значит формула для вычисления периметра параллелепипеда будет иметь следующий вид:

P = 4a + 4b + 4c

Как видно из примеров выше, всё, что необходимо сделать для определения периметра фигуры - найти длину каждой из сторон, а затем их сложить.

В заключение хочется отметить, что не всякая фигура имеет периметр. К примеру, у шара периметра нет.

При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .

В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.

Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера - 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре - бесконечное количество.

Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга и возможно решение.

• Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.

Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой - 3х.

Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Решение .
Площадь прямоугольника равна
S = ab

В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S 2 = 1,25ab

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25

Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 - 0,8) * 100% = 20%

Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.

Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.

Основные понятия

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.

Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.

Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.

Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.

Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.

Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.

Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.

Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.

Формула периметра фигуры

Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:

$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.

Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .

Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.

Решение:

Используем формулу $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 см$

Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.

Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.

Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.