Чему равна сторона вписанного многоугольника. Свойства правильных многоугольников
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными углами.а - сторона восьмиугольника,
R - радиус описанной окружности,
r - радиус вписанной окружности.
Сумма внутренних углов правильного n-угольника
180(n-2) .
Градусная мера внутреннего угла n-угольника
180(n-2) : n.
Сторона правильного n-ка
Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности
Площадь правильного n-ка
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Сумма внутренних углов шестиугольника равна:
1) 360
°
; 2) 180
°
; 3) 720
°
; 4) 540
°
.
б) Сумма внутренних углов восьмиугольника равна:
1) 360
°
; 2) 180
°
; 3) 720
°
; 4) 1080
°
.
Решение:
а) По формуле сумма углов шестиугольника равна: 180(6-2)=180*4=720
°
.
Ответ: 720
°
.
2. а) Сторона правильного многоугольника равна 5 см, внутренний угол равен 144
°
а) Сторона правильного многоугольника равна 7 см, внутренний угол равен 150
°
. Найдите периметр многоугольника.
Решение:
а) 1) Найдем количество сторон многоугольника:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Найдем периметр десятиугольника: Р=5*10=50 см.
Ответ: 50 см.
3. а) Периметр правильного пятиугольника равен 30 см. Найдите диаметр окружности, описанной вокруг пятиугольника.
б) Диаметр окружности равен 10 см. Найдите периметр вписанного в нее пятиугольника.
Решение:
а) 1) Найдем сторону пятиугольника: 30:5=6 см.
2) Найдем радиус описанной окружности:
a=2R*sin(180
°
:n);
6=2R*sin (180
°
:5);
R=3:sin 36
°
=3:0,588=5,1 см
Ответ: 5,1 см.
4. а) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 2520
°
б) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 1800
°
. Найдите количество сторон многоугольника.
Решение:
а) Найдем количество сторон многоугольника:
2520
°
= 180
°
(n-2);
2520
°
+360
°
=180
°
n;
2880
°
=180
°
n;
n=16.
Ответ: 16 сторон.
5. а) Радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника равен 5 см. Найдите площадь многоугольника.
б) Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника равен 6 см. Найдите площадь многоугольника.
Решение:
а) Найдем площадь двенадцатиугольника:
S=0.5*
R 2 *n*sin(360
°
:n)=0,5*25*12*sin30
°
=75 см
2
.
Ответ: 75 см
2
.
6. Найдите площадь шестиугольника, если известна площадь закрашенной части:
а) 1) Найдем длину стороны АВ шестиугольника. Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС).
∠АВС=180 ° (6-2):6=120 ° .
Площадь треугольника АВС равна 0,5*АВ*ВС*sin120 ° и равна по условию 48.
2) В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, следовательно R=AB.3) Найдем площадь шестиугольника:
Ответ: 288 см 2 .
7. а) Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол при вершине равен 18
°
.
б) Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол при вершине равен 45
°
.
Решение:
а) Сумма внешних углов правильного многоугольника равна 360
°
.
Найдем количество сторон: 360
°
:18
°
=20.
Ответ: 20 сторон.
8. Вычислите площадь кольца, если хорда АВ равна:
а) 8 см; б) 10 см.
а)
1) ОВ - радиус внешней окружности, ОН - радиус внутренней окружности. Площадь кольца можно найти по формуле: S кольца = S внешней окружности - S внутренней окружности.
S= π *OB 2 - π *OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).
2) Рассмотрим треугольник АВО - равнобедренный (ОА=ОВ как радиусы). ОН является в треугольнике АВО высотой и медианой, следовательно, АН=НВ=8:2= 4 см.
3) Рассмотрим треугольник ОНВ - прямоугольный: НВ 2 =ОВ 2 -ОН 2 , следовательно
ОВ 2 -ОН 2 =16.
4) Найдем площадь кольца:
S= π (OB 2 -OH 2 )=16 π см 2 .
Ответ: 16 π см 2 .
9. а) Найдите периметр правильного шестиугольника, если АС=9 см.
б) Найдите площадь правильного шестиугольника, если FA=6 см.
Решение:
а) 1) Найдем угол АВС: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС как стороны правильного шестиугольника).
∠ ВАС= ∠ ВСА=(180 ° -120 ° ):2=30 ° .
По теореме синусов: АС: sin ∠ ABC = AB: sin ∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :sin120;
3) Найдем периметр правильного шестиугольника:
Р=6*АВ;
10. Докажите, что в правильном восьмиугольнике площадь закрашенной части равна:
а) четверти площади восьмиугольника; б) половине площади восьмиугольника:
а)
1) Проведем биссектрисы углов восьмиугольника, они пересекутся в точке О. Площадь восьмиугольника равна сумме площадей восьми получившихся равных треугольников, т.е. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).
2) Четырехугольник ABEF - параллелограмм (АВ//EF и АВ=EF). Диагонали параллелограмма равны: AE=BF (как диаметры описанной около восьмиугольника окружности), следовательно, ABEF - прямоугольник. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих треугольника.
3) Найдем площадь четырехугольника AFKM:
S (ABEF)= 4* S (OEF).
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).
S (AFKM)=2* S (OEF).
4) Найдем отношение площади восьмиугольника к площади закрашенной части:
S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S (OEF))=4.
Что и требовалось доказать.
11. Найдите отношение площади сектора ВАС к площади закрашенной фигуры, если ВА=АС и площадь сектора ВАС равна четверти площади круга:
Решение:
а)
1) АВ=АС=2R. Угол ВАС - прямой, т.к. площадь сектора ВАС равна четверти площади круга .
2) Рассмотрим Четырехугольник АО 2 МО 1 . Он является ромбом, т.к. все стороны равны радиусу, а т.к. Один их углов равен 90°, то АО 2 МО 1 - квадрат.
S треугольника = 0,5R 2 см 2 .S сегмента = (0,25 π - 0,5)R 2 см 2 .
S закрашенной части = 2* S сегмента = 2*(0,25 π - 0,5)R 2 = (0,5 π -1 )R 2 с м 2 .
4) Найдем площадь сектора ВАС:
S сектора = π *(2R) 2 *90:360= π R 2 с м 2 .
5) Найдем отношение площади сектора ВАС к площади закрашенной части:
π R 2 :(0,5 π -1 )R 2 = 2 π : (π-2).
Ответ: 2 π : (π-2).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Чему равна сумма внешних углов пятиугольника?
2. Чему равна площадь восьмиугольника, если площадь закрашенной области равна 20.
4. Сторона АВ правильного многоугольника равна 8 см. О - центр многоугольника, угол АОВ равен 36 ° . Найдите периметр многоугольника.
5. Периметр правильного восьмиугольника равен 80 см. Найдите его меньшую диагональ.
6. В правильный треугольник вписана окружность и вокруг него описана окружность. Найдите площадь кольца, образованного окружностями, если сторона треугольника равна 8 см.
7. Найдите угол между двумя меньшими диагоналями, выходящими из одной вершины правильного семиугольника.
8. Около окружности описан правильный треугольник, и в нее же вписан правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника.
9. Выпуклый многоугольник имеет 48 сторон. Найдите число его диагоналей.
10. ABCD - квадрат. Из вершин В и С проведены окружности радиуса АВ. Найдите отношение площади закрашенной фигуры к площади квадрата:
Теорема 1 . Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Пусть ABCDEF (рис. 419) - правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность.
Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно провести окружность, которая пройдёт через три любые вершины правильного многоугольника, например через вершины Е, D и С. Пусть точка О - центр этой окружности.
Докажем, что эта окружность пройдёт и через четвёртую вершину многоугольника, например через вершину В.
Отрезки ОЕ, OD и ОС равны между собой, и каждый равен радиусу окружности. Проведём ещё отрезок ОВ; про этот отрезок сразу нельзя сказать, что он также равен радиусу окружности, это надо доказать. Рассмотрим треугольники OED и ODC, они равнобедренные и равные, следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Если внутренний угол данного многоугольника равен α , то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2 ; но если ∠4= α / 2 , то и ∠5 = α / 2 , т.е. ∠4 = ∠5.
Отсюда заключаем, что (Delta)ОСD = (Delta)ОСВ и, значит, ОВ = ОС, т. е. отрезок ОВ равен радиусу проведённой окружности. Из этого следует, что окружность пройдёт и через вершину В правильного многоугольника.
Таким же приёмом докажем,что построенная окружность пройдёт и через все остальные вершины многоугольника. Значит, эта окружность будет описанной около данного правильного многоугольника. Теорема доказана.
Теорема 2 . В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.
Пусть ABCDEF - правильный многоугольник (рис. 420), надо доказать, что в него можно вписать окружность.
Из предыдущей теоремы известно, что около правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть точка О - центр этой окружности.
Соединим точку Oс вершинами многоугольника. Полученные треугольники OED, ODC и т д. равны между собой, значит, равны и их высоты, проведённые из точки О, т. е. OK = OL = ОМ = ON = OP = OQ.
Поэтому окружность, описанная из точки О как из центра радиусом, равным отрезку ОК, пройдёт через точки К, L, M, N, Р и Q, и высоты треугольников будут радиусами окружности. Стороны многоугольника перпендикулярны к радиусам в этих точках, поэтому они являются касательными к этой окружности. А это значит, что построенная окружность вписана в данный правильный многоугольник.
Такое же построение можно выполнить для любого правильного многоугольника, следовательно, вписать окружность можно в любой правильный многоугольник.
Следствие. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него, имеют общий центр.
Определения .
1. Центром правильного многоугольника называется общий центр окружностей, описанной около этого многоугольника и вписанной в него.
2. Перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону, называется апофемой правильного многоугольника.
Выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности
С помощью тригонометрических функций можно выразить сторону любого правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности.
Пусть АВ - сторона правильного n -угольника, вписанного в круг радиуса ОА = R (рис).
Проведём апофему OD правильного многоугольника и рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. В этом треугольнике
∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n = 180° / n
AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;
но AB = 2AD и потому АВ = 2R sin 180° / n .
Длина стороны правильного n -угольника, вписанного в круг, обозначается обычно а n , поэтому полученную формулу можно записать так:
а n = 2R sin 180° / n .
Следствия:
1. Длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 6 = R , так как
а 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.
2. Длина стороны правильного четырёхугольника (квадрата), вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 4 = R √ 2 , так как
а 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 3 = R √ 3 , так как.
а 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3
Площадь правильного многоугольника
Пусть дан правильный n -угольник (рис). Требуется определить его площадь. Обозначим сторону многоугольника через а и центр через О. Соединим отрезками центр с концами какой-либо стороны многоугольника, получим треугольник, в котором проведём апофему многоугольника.
Площадь этого треугольника равна ah / 2 . Чтобы определить площадь всего многоугольника нужно площадь одного треугольника умножить на число треугольников, т. е. на n . Получим: S = ah / 2 n = ahn / 2 , но аn равняется периметру многоугольника. Обозначим его через Р.
Окончательно получаем: S = Ph / 2 . где S - площадь правильного многоугольника, Р - его периметр, h - апофема.
Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему.
Другие материалыОпределение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника : если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.
Свойства
Координаты
Пусть x C {\displaystyle x_{C}} и y C {\displaystyle y_{C}} - координаты центра, а R {\displaystyle R} - радиус окружности , ϕ 0 {\displaystyle {\phi }_{0}} - угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:
x i = x C + R cos (ϕ 0 + 2 π i n) {\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)} y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) {\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}где i = 0 … n − 1 {\displaystyle i=0\dots n-1}
Размеры
Пусть R {\displaystyle R} - радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности , тогда радиус вписанной окружности равен
r = R cos π n {\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}} ,а длина стороны многоугольника равна
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n {\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}Площадь
N {\displaystyle n} и длиной стороны a {\displaystyle a} составляет:
S = n 4 a 2 ctg π n {\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}} .Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , вписанного в окружность радиуса R {\displaystyle R} , составляет:
S = n 2 R 2 sin 2 π n {\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}} .Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , описанного вокруг окружности радиуса r {\displaystyle r} , составляет:
S = n r 2 t g π n {\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}} (площадь основания n-угольной правильной призмы)Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} равна
S = n r a 2 {\displaystyle S={\frac {nra}{2}}} ,где r {\displaystyle r} - расстояние от середины стороны до центра, a {\displaystyle a} - длина стороны.
Площадь правильного многоугольника через периметр ( P {\displaystyle P} ) и радиус вписанной окружности ( r {\displaystyle r} ) составляет:
S = 1 2 P r {\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr} .Периметр
Если нужно вычислить длину стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L {\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:
a n {\displaystyle a_{n}} - длина стороны правильного n-угольника. a n = sin 180 n ⋅ L π {\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}Периметр P n {\displaystyle P_{n}} равен
P n = a n ⋅ n {\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}где n {\displaystyle n} - число сторон многоугольника.
Применение
Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников .
Древнегреческие математики (Антифонт , Брисон Гераклейский , Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа . Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.
История
Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века . Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.
С тех пор проблема считается полностью решённой.
Многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и все углы. Среди треугольников правильным будет равносторонний треугольник и только он. Квадрат (и только квадрат) является правильным четырехугольником. Покажем, что существуют правильные многоугольники с любым числом сторон , где . Для этого приведем два способа построения таких многоугольников.
Способ 1. Возьмем произвольную окружность и разделим ее на равных частей. Такое построение далеко не при всяком осуществимо циркулем и линейкой, но мы будем здесь считать, что такое построение сделано. Примем точки деления в их последовательном положении на окружности за вершины -угольника, вписанного в эту окружность. Докажем, что построенный -угольник - правильный. Действительно, стороны нашего многоугольника (рис. 312) суть хорды, стягиваемые равными дугами, и потому они равны между собой.
Все углы опираются на равные дуги и потому также равны. Итак, многоугольник правильный.
Способ 2. Снова разделим окружность на равных частей и проведем в точках деления касательные к окружности; ограничим каждую из касательных точками ее пересечения с касательными, проведенными в соседних точках деления. Получим правильный многоугольник, описанный около окружности (рис. 313). В самом деле, углы его все равны, так как каждый из них, как угол между касательными, измеряется полуразностью дуг, из которых меньшая всегда равна части окружности, а большая - полной окружности минус часть. Равенство сторон видно хотя бы из равенства треугольников, образованных парами полукасательных и хордами (например, треугольники и т. д.). Все они равнобедренные, имеют равные углы при вершинах и равные основания.
Два правильных -угольника с одинаковым числом сторон подобны.
Действительно, стороны их заведомо находятся в постоянной отношении, равном отношению любой пары сторон. Кроме того, по теореме о сумме углов -угольника всякий правильный -угольник имеет одни и те же углы, равные 1. Условия признака п. 224 выполнены, и -угольники подобны.
Итак, для всякого правильные -угольники подобны. Отсюда непосредственно получаем ряд следствий:
1. Два правильных -угольника с равными сторонами равны.
2. Вокруг всякого правильного -угольника можно описать окружность.
Доказательство. Возьмем какой-либо правильный многоугольник с тем же числом сторон, что данный, построенный по первому способу, т. е. вписанный в окружность. Преобразуем его подобно так, чтобы он стал равен данному. Тогда окружность, описанная вокруг него, подобно преобразуется в окружность, описанную вокруг многоугольника, равного данному.
3. В каждый правильный многоугольник можно вписать окружность.
Доказательство аналогично. Полезно, однако, провести рассуждения и несколько иначе. Мы уже знаем, что вокруг данного многоугольника можно описать окружность. Возьмем ее центр. Стороны многоугольника служат ее хордами; будучи равны между собой, они должны одинаково отстоять от центра. Поэтому окружность с тем же центром и радиусом, равным расстоянию от центра до сторон многоугольника, будет касаться всех сторон многоугольника, т. е. будет вписанной окружностью.
Итак, вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют общий центр. Он называется центром данного правильного многоугольника. Радиус описанной окружности называется радиусом многоугольника, радиус вписанной окружности его апофемой. Ясно, что апофема всегда меньше радиуса.