Порой в жизни встречаются такие ситуации, когда приходится копаться в памяти в поисках давно забытых школьных знаний. Например, нужно определить площадь земельного участка треугольной формы или же пришел черед очередного ремонта в квартире или частном доме, и нужно посчитать, сколько уйдет материала для поверхности с треугольной формой. Было время, когда вы могли решить такую задачку за пару минут, а теперь отчаянно пытаетесь вспомнить, как же определить площадь треугольника?

Не стоит из-за этого переживать! Ведь это вполне нормально, когда мозг человека решает переложить давно неиспользуемые знания куда-нибудь в удаленный уголок, из которого порой их не так-то и легко извлечь. Чтобы вам не пришлось мучиться с поиском забытых школьных знаний для решения такой задачи, в этой статье собраны различные методы, которые позволяют легко найти искомую площадь треугольника.

Общеизвестно, что треугольником называют такой вид многоугольника, который ограничен минимально возможным количеством сторон. В принципе, любой многоугольник можно разделить на несколько треугольников, соединив его вершины отрезками, которые не пересекают его стороны. Поэтому, зная треугольника, можно посчитать площадь практически любой фигуры.

Среди всех возможных треугольников, которые встречаются в жизни, можно выделить следующие частные виды: и прямоугольный.

Проще всего площадь треугольника рассчитывается, когда один из его углов прямой, то есть в случае с прямоугольным треугольником. Несложно заметить, что он представляет собой половину прямоугольника. Поэтому его площадь равна половине произведения сторон, которые образуют между собой прямой угол.

Если нам известны высота треугольника, опущенная из одной из его вершин на противоположную сторону, и длина этой стороны, которую называют основанием, то площадь рассчитывается как половина произведения высоты на основание. Записывается это с помощью такой формулы:

S = 1/2*b*h, в которой

S - искомая площадь треугольника;

b, h - соответственно, высота и основание треугольника.

Так легко рассчитать площадь равнобедренного треугольника, поскольку высота будет делить противоположную сторону пополам, и ее легко можно будет измерить. Если определяется площадь то в качестве высоты удобно брать длину одной из сторон, образующих прямой угол.

Все это конечно хорошо, но как определить, является ли один из углов треугольника прямым или нет? Если размер нашей фигуры небольшой, то можно воспользоваться строительным углом, чертежным треугольником, открыткой или другим предметом с прямоугольной формой.

Но что делать, если у нас треугольный земельный участок? В этом случае поступают следующим образом: отсчитывают от вершины предполагаемого прямого угла по одной из сторон расстояние кратное 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по другой стороне отмеряют в той же пропорции расстояние кратное 4 (40 см, 160 см, 4 м). Теперь нужно измерить расстояние между конечными точками этих двух отрезков. Если получилось значение кратное 5 (50 см, 250 см, 5 м), то можно утверждать, что угол прямой.

Если известно значение длины каждой из трех сторон нашей фигуры, то площадь треугольника можно определить, используя формулу Герона. Для того чтобы она имела более простой вид, применяют новую величину, которая называется полупериметром. Это сумма всех сторон нашего треугольника, разделенная пополам. После того как полупериметр посчитан, можно приступать к определению площади по формуле:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где

sqrt - квадратный корень;

p - значение полупериметра (p =(a+b+c)/2);

а,b,с - ребра (стороны) треугольника.

Но что делать, если треугольник имеет неправильную форму? Здесь возможны два способа. Первый из них состоит в том, чтобы попытаться разделить такую фигуру на два прямоугольных треугольника, сумму площадей которых посчитать отдельно, а затем сложить. Или же, если известен угол между двумя сторонами и размер этих сторон, то применить формулу:

S = 0.5 * ab * sinC, где

a,b - стороны треугольника;

с - величина угла между этими сторонами.

Последний случай на практике встречается редко, но тем не менее, в жизни все возможно, поэтому приведенная выше формула не будет лишней. Удачи в расчётах!

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.

Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:

• Прямоугольный.
• Тупоугольный.
• Остроугольный.
• Разносторонний.
• Равносторонний.
• Равнобедренный.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.

Формула Герона

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.

Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.

Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.

Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.

Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.

Инструкция

Стороны и углы считаются основными элементами а . Треугольник полностью определяется любой из следующих своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними. Для существования треугольника , задаваемого тремя сторонами a, b, c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника :
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Для построения треугольника по трем сторонам a, b, c, необходимо из точки С отрезка СВ=a как из провести циркулем окружность радиусом b. Затем аналогичным образом провести из точки B окружность радиусом равным стороне c. Точка их пересечения A – третья вершина искомого треугольника ABC, где АВ=c, CB=a, CA=b - стороны треугольника . Задача имеет , если стороны a, b, c, удовлетворяют неравенствам треугольника указанным в шаге 1.

Площадь S, построенного таким образом треугольника ABC с известными сторонами a, b, c, вычисляется по формуле Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
где a, b, c – стороны треугольника , p – полупериметр.
p = (a+b+c)/2

Если треугольник является равносторонним, то есть все его стороны равны (a=b=c).Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S=(a^2 v3)/4

Если треугольник является прямоугольным, то есть один из его углов равен 90°, а стороны, его образующие, катетами, третья сторона гипотенузой. В данном случае площадь равняется произведению катетов, деленному на два.
S=ab/2

Чтобы найти площадь треугольника , можно воспользоваться одной из многочисленных формул. Формулу выбирайте в зависимости от того, какие данные уже известны.

Вам понадобится

• знание формул для нахождения площади треугольника

Инструкция

Если вы знаете величину одной из сторон и величину высоты, опущенной на эту сторону из противолежащего ей угла, то можно найти площадь по следующей : S = a*h/2, где S - площадь треугольника, a - одна из сторон треугольника, а h - высота, к стороне a.

Существует известная для определения площади треугольника, если известны три его стороны. Она формулой Герона. Для упрощения ее записи вводят промежуточную величину - полупериметр: p = (a+b+c)/2, где a, b, c - . Тогда формула Герона следующим образом: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ возведение в степень.

Предположим, что вам известна одна из сторон треугольника и три угла. Тогда легко найти площадь треугольника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), где β - угол, противолежащий стороне a, а α и γ - прилежащие к стороне углы.

Видео по теме

Обратите внимание

Самая общая формула, которая подходит для всех случаев - это формула Герона.

Источники:

Совет 3: Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.

Вам понадобится

• длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Формула Герона для площади треугольника следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можно вывести формулу для площади треугольника и из соображений, например, применив теорему косинусов.

По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти можно также в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Для проведения ремонтных работ бывает необходимо измерить площадь стен. Так проще рассчитать необходимое количество краски или обоев. Для измерений лучше всего воспользоваться рулеткой или сантиметровой лентой. Замеры следует проводить уже после того, как стены были выровнены.

Вам понадобится

• -рулетка;
• -стремянка.

Инструкция

Чтобы посчитать площадь стен, вам необходимо знать точную высоту потолков, а также произвести замеры длины по полу. Делается это следующим образом: возьмите сантиметр, проложите его над плинтусом. Обычно сантиметра для всей длины не хватает, поэтому закрепите его в углу, затем размотайте на максимальную длину. В этой точке поставьте отметку карандашом, запишите полученный результат и дальнейшее измерение проводите тем же образом, начиная с последней точки замера.

Стандартная потолков в типовых - 2 метра 80 сантиметров, 3 метра и 3 метра 20 сантиметров, в зависимости от дома. Если дом был построен до 50-х годов, то, скорее всего, реальная высота несколько ниже указанной. Если вы вычисляете площадь для ремонтных работ, то небольшой запас не повредит - считайте, исходя из стандарта. Если все же необходимо знать реальную высоту - проведите замеры . Принцип аналогичен измерению длины, но потребуется стремянка.

Перемножьте полученные показатели - это и есть площадь вашей стены . Правда, при покрасочных работах или для необходимо вычесть площадь дверных и оконных проемов. Для этого проложите сантиметр вдоль проема. Если речь идет о двери, которую вы впоследствии собираетесь менять, то проводите со снятой дверной коробкой, учитывая только площадь непосредственно самого проема. Площадь окна высчитывается по периметру его рамы. После того, как площадь окна и дверного проема высчитана, вычтите результат из общей полученной площади комнаты.

Учтите, что замеры длины и ширины комнаты проводить вдвоем, так легче зафиксировать сантиметр или рулетку и, соответственно, получить более точный результат. Проводите один и тот же замер несколько раз, чтобы убедиться в точности полученных цифр.

Видео по теме

Нахождение объема треугольника действительно нетривиальная задача. Дело в том, что треугольник - двухмерная фигура, т.е. он целиком лежит в одной плоскости, а это значит, что у него попросту нет объема. Разумеется нельзя найти то, чего не существует. Но не будем опускать руки! Можно принять следующее допущение - объем двухмерной фигуры, это ее площадь. Площадь треугольника мы и будем искать.

Вам понадобится

• лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор

Инструкция

Начертите на листе бумаги при помощи линейки и карандаша. Внимательно рассмотрев треугольник, вы сможете убедиться, что у него действительно нет , так как он нарисован на плоскости. Подпишите стороны треугольника: пусть одна сторона будет стороной "а", другая - стороной "b", и третья - стороной "c". Подпишите вершины треугольника буквами "А", "B" и "C".

Измерьте линейкой любую сторону треугольника и запишите получившийся результат. После этого восстановите перпендикуляр к измеренной стороне из противоположной ей вершины, такой перпендикуляр будет высотой треугольника. В случае, представленном на рисунке, перпендикуляр "h" восстановлен к стороне "c" из вершины "A". Измерьте получившуюся высоту линейкой и запишите результат измерения.

Может случиться, что вам будет сложно восстановить точный перпендикуляр. В этом случае вам следует воспользоваться другой формулой. Измерьте все стороны треугольника линейкой. После этого подсчитайте полупериметр треугольника "p", сложив получившиеся длины сторон и разделив их сумму пополам. Имея в своем распоряжении значение полупериметра, вы можете по формуле Герона. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из следующего : p(p-a)(p-b)(p-c).

Вы получили искомую величину площади треугольника. Задача нахождения объема треугольника не решена, но как говорилось выше, объема не . Вы можете найти объем , которая по сути треугольником в трехмерном мире. Если представить, что наш первоначальный треугольник стал трехмерной пирамидой, то объем такой пирамиды будет произведению длины ее основания на полученную нами площадь треугольника.

Обратите внимание

Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения

Источники:

• Калькулятор “Все во все” - портал по справочным величинам
• объем треугольника в 2019

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную - полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота - то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

То с первой формулы площади следуют однотипные вторые

Внимательно посмотрите на формулы - их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника

Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

А затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок - частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего (правильного) треугольника =

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.