Если две пересекающиеся прямые одной. Параллельность плоскостей: признак, условие

Всем, кто когда-либо учился или сейчас учится в школе, приходилось сталкиваться с различными трудностями при изучении дисциплин, которые включены в программу, разработанную Министерством образования.

С какими трудностями приходится сталкиваться

Изучение языков сопровождается зазубриванием имеющихся грамматических правил и основных исключений из них. Физкультура требует от учеников большой выкладки, хорошей физической формы и огромного терпения.

Однако ни с чем нельзя сравнить те сложности, которые возникают при изучении точных дисциплин. Алгебра, содержащая в себе запутанные способы решения элементарных задач. Физика с богатым набором формул физических законов. Геометрия и ее разделы, в основе которых лежат сложные теоремы и аксиомы.

Примером могут служить аксиомы, объясняющие теорию параллельности плоскостей, которые необходимо обязательно запомнить, так как они лежат в основе всего курса школьной программы по стереометрии. Давайте попробуем разобраться, как проще и быстрее это можно сделать.

Параллельные плоскости на примерах

Аксиома, указывающая на параллельность плоскостей, звучит следующим образом: «Любые две плоскости считаются параллельными только в том случае, если они не содержат общих точек », то есть не пересекаются друг с другом. Чтобы более детально представить себе данную картину, в качестве элементарного примера можно привести отношение потолка и пола или противоположных стен в здании. Становится сразу понятно, что имеется в виду, а также подтверждается тот факт, что эти плоскости в обычном случае никогда не пересекутся.

Другим примером может служить оконный стеклопакет, где в качестве плоскостей выступают полотна стекол. Они также ни при каких условиях не будут образовывать точек пересечения между собой. Дополнительно к этому можно добавить книжные полки, кубик Рубика, где плоскостями являются его противоположные грани, и прочие элементы быта.

Обозначаются рассматриваемые плоскости специальным знаком в виде двух прямых «||», которые наглядно иллюстрируют параллельность плоскостей. Таким образом, применяя реальные примеры, можно сформировать более четкое восприятие темы, а, следовательно, можно переходить далее к рассмотрению более сложных понятий.

Где и как применяется теория параллельных плоскостей

При изучении школьного курса геометрии ученикам приходится сталкиваться с разносторонними задачами, где зачастую необходимо определить параллельность прямых, прямой и плоскости между собой или зависимость плоскостей друг от друга. Анализируя имеющееся условие, каждую задачу можно соотнести к четырем основным классам стереометрии.

К первому классу относят задачи, в условии которых необходимо определить параллельность прямой и плоскостимежду собой. Ее решение сводится к доказательству одноименной теоремы. Для этого нужно определить, имеется ли для прямой, не принадлежащей рассматриваемой плоскости, параллельная прямая, лежащая в этой плоскости.

Ко второму классу задач относятся те, в которых задействуют признак параллельности плоскостей. Его применяют для того, чтобы упростить процесс доказательства, тем самым значительно сокращая время на поиск решения.

Следующий класс охватывает спектр задач о соответствии прямых основным свойствам параллельности плоскостей. Решение задач четвертого класса заключается в определении, выполняется ли условие параллельности плоскостей. Зная, как именно происходит доказательство той или иной задачи, ученикам становится проще ориентироваться при применении имеющегося арсенала геометрических аксиом.

Таким образом, задачи, условие которых требует определить и доказать параллельность прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей между собой, сводятся к правильному подбору теоремы и решению согласно имеющемуся набору правил.

О параллельности прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости - особая тема в стереометрии, так как именно она является базовым понятием, на которое опираются все последующие свойства параллельности геометрических фигур.

Согласно имеющимся аксиомам, в случае когда две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, можно сделать вывод, что данная прямая также лежит в ней. В сложившейся ситуации становится ясно, что возможны три варианта расположения прямой относительно плоскости в пространстве:

Прямая принадлежит плоскости.
Для прямой и плоскости имеется одна общая точка пересечения.
Для прямой и плоскости точки пересечения отсутствуют.

Нас, в частности, интересует последний вариант, когда отсутствуют какие-либо точки пересечения. Только тогда можно говорить о том, что прямая и плоскость относительно друг друга являются параллельными. Таким образом, подтверждается условие основной теоремы о признаке параллельности прямой и плоскости, которая гласит, что: «Если прямая, не принадлежащая рассматриваемой плоскости, параллельна любой прямой на этой плоскости, то рассматриваемая прямая также является параллельной данной плоскости».

Необходимость использования признака параллельности

Признак параллельности плоскостей, как правило, используется для поиска упрощенного решения задач о плоскостях. Суть данного признака состоит в следующем: «Если имеются две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельные двум прямым, принадлежащим другой плоскости, то такие плоскости можно назвать параллельными ».

Дополнительные теоремы

Помимо использования признака, доказывающего параллельность плоскостей, на практике можно встретиться с применением двух других дополнительных теорем. Первая представлена в следующей форме: «Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей, то и вторая плоскость либо тоже параллельна третьей, либо полностью совпадает с ней ».

Базируясь на использовании приводимых теорем, всегда можно доказать параллельность плоскостей относительно рассматриваемого пространства. Вторая теорема отображает зависимость плоскостей от перпендикулярной прямой и имеет вид: «Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны по отношению к некоторой прямой, то они считаются параллельными друг другу ».

Понятие необходимого и достаточного условия

При неоднократном решении задач доказательства параллельности плоскостей было выведено необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей. Известно, что любая плоскость задается параметрическим уравнением вида: А 1 х+ В 1 у+ C 1 z+D 1 =0. Наше условие базируется на использовании системы уравнений, задающих расположение плоскостей в пространстве, и представлено следующей формулировкой: «Для доказательства параллельности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы система уравнений, описывающих эти плоскости, была несовместной, то есть не имела решения ».

Основные свойства

Однако при решении геометрических задач использования признака параллельности не всегда бывает достаточно. Иногда возникает ситуация, когда необходимо доказать параллельность двух и более прямых в различных плоскостях или равенство отрезков, заключенных на этих прямых. Для этого применяют свойства параллельности плоскостей. В геометрии их насчитывается всего два.

Первое свойство позволяет судить о параллельности прямых в определенных плоскостях и представлено в следующем виде: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые, образованные линиями пересечения, будут также параллельны друг другу ».

Смысл второго свойства состоит в том, чтобы доказать равенство отрезков, расположенных на параллельных прямых. Его трактовка представлена ниже. «Если рассматривать две параллельные плоскости и заключить между ними область, то можно утверждать, что длина образованных этой областью отрезков будет одинакова ».

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей. Далее мы докажем теорему - признак параллельности плоскостей и, опираясь на нее, решим несколько задач на параллельность плоскостей.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные плоскости

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение : .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Могут ли быть параллельными плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

3. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5 стр. 29

Цели урока:

Ввести понятие параллельных плоскостей.
Рассмотреть и доказать теоремы, выражающие признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей.
Проследить применение этих теорем при решении задач.

План урока (записать на доске):

I. Подготовительная устная работа.

II. Изучение нового материала:

1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
2. Определение параллельных плоскостей.
3. Признак параллельности плоскостей.
4. Свойство параллельных плоскостей.

III. Итог урока.

IV. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. Устная работа

Начать урок хочется с цитаты из философского письма Чаадаева:

“Откуда это чудодейственная мощь анализа в математике? Дело в том, что ум здесь действует в полном подчинении данному правилу”.

Это подчинение правилу мы рассмотрим на следующем задании. Для усвоения нового материала необходимо повторить некоторые вопросы. Для этого надо установить утверждение, которое следует из данных утверждений и обосновать свой ответ:

II. Изучение нового материала

1. Как могут располагаться две плоскости в пространстве? Что представляет собой множество точек, принадлежащих обеим плоскостям?

Ответ:

а) совпадать (тогда дело будем иметь с одной плоскостью, не устраивает);
б) пересекаться, ;
в) не пересекаться (общих точек вообще нет).

2. Определение: Если две плоскости не пересекаются, то они называются параллельными

3. Обозначение:

4. Приведите примеры параллельных плоскостей из окружающей обстановки

5. Как выяснить параллельны ли какие-либо две плоскости в пространстве?

Ответ:

Можно воспользоваться определением, но это нецелесообразно, т.к. установить пересечение плоскостей не всегда возможно. Поэтому необходимо рассмотреть условие достаточное для того, чтобы утверждать о параллельности плоскостей.

6. Рассмотрим ситуации:

б) если ?

в) если ?

Почему в а) и б) ответ: "не всегда", а в в) "да"? (Пересекающиеся прямые определяют плоскость единственным образом, значит определены однозначно!)

Ситуация 3 и есть признак параллельности двух плоскостей.

7. Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

(Обозначения на чертеж наносят учащиеся).

1. Отметим: . Аналогично:
2. Пусть: .
3. Имеем: Аналогично:
4. Получим: через М проходит противоречие с аксиомой планиметрии.
5. Итак: неверно, значит , ч. и т. д.

8. Решить № 51 (Обозначения на чертеж наносят учащиеся).

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1 способ

1. Построим

2 способ

Ввести через через .

9. Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей:

Теорема: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

(Достраивают и наносят обозначение на чертеж сами учащиеся).

Дано:

На этом уроке мы рассмотрим три свойства параллельных плоскостей: о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью; о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями; и о рассечении сторон угла параллельными плоскостями. Далее решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и С D , которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и С D равны.

Две параллельные прямые АВ и С D образуют единственную плоскость γ, γ = АВ D С . Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и В D параллельны.

Прямые АВ и С D также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВ D С - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А . Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости - ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости - В 1 С 1 . По первому свойству, линии пересечения ВС и В 1 С 1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Получаем:

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича ()

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Точка О - общая середина каждого из отрезков АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А 1 В 1 С 1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

Задания 6, 8, 9 стр. 29