Дробь - число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b

Числитель дроби (a) - число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) - число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

3.3. Умножение обыкновенных дробей

3.4. Деление обыкновенных дробей

4. Взаимно обратные числа

5. Десятичные дроби

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

6.2. Вычитание десятичных дробей

6.3. Умножение десятичных дробей

6.4. Деление десятичных дробей

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc , то две дроби a/b =c /d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби - это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15 ).

Несократимая дробь - это дробь вида 3/4 ​ ​ , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби - сделать дробь несократимой.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаимно обратные числа

Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является 1/9 ​ ​ , так как 9*1/9= 1 , для числа 5 - обратное число 1/5 ​ ​ , так как 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n ​ ​ .

Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

менателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 - делитель числа 100 , поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа - одна цифра после запятой; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9 = ​ 31 1/9 ​ ​ .

Условимся считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби и называются равными, если .

Например, , так как

Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).

Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Сокращение дробей

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

.

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Итак, сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен - 5xy в виде суммы - 2xy - 3xy , получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

В результате

.

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120 .

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Пример 2. Найти общий знаменатель дробей и .

Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен , так как он делится и на , и на . Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей. Им может быть также многочлен , и многочлен , и многочлен и т.д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.

В нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:

;

.

Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя второй дроби - на . Многочлены и называются дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d , то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,

.

Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

Примеры (1):

Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):

Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:

Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:

В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:

*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

— если необходимо, то результат сокращаем.

— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Эта статья про обыкновенные дроби . Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.

Навигация по странице.

Доли целого

Сначала введем понятие доли .

Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей .

Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.

В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей . Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.

Одна вторая доля имеет специальное название – половина . Одна третья доля называется третью , а одна четверная доля – четвертью .

Для краткости записи были введены следующие обозначения долей . Одну вторую долю обозначают как или 1/2 , одну третью долю – как или 1/3 ; одну четвертую долю – как или 1/4 , и так далее. Отметим, что запись с горизонтальной чертой употребляется чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает одну сто шестьдесят седьмую долю целого.

Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей

Для описания количества долей используются обыкновенные дроби . Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.

Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, . Две доли обозначим как , три доли – как , и так далее, 12 долей обозначим как . Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.

Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей .

Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры обыкновенных дробей : 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А вот записи не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель .

Определение.

Числитель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число m .

Определение.

Знаменатель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число n .

Итак, числитель расположен сверху над чертой дроби (слева от наклонной черты), а знаменатель – снизу под чертой дроби (справа от наклонной черты). Для примера приведем обыкновенную дробь 17/29 , числителем этой дроби является число 17 , а знаменателем – число 29 .

Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае можно считать, что предмет неделим, иными словами, представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько целых предметов взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m/1 имеет смысл натурального числа m . Так мы обосновали справедливость равенства m/1=m .

Перепишем последнее равенство так: m=m/1 . Это равенство дает нам возможность любое натуральное число m представлять в виде обыкновенной дроби. Например, число 4 – это дробь 4/1 , а число 103 498 равно дроби 103 498/1 .

Итак, любое натуральное число m можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 как m/1 , а любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m .

Черта дроби как знак деления

Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.

Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n , а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n . Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.

Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n .

С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8 , то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8 .

Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей

Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей , ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12 , а 1/6 доля яблока такая же, как другая 1/6 доля этого яблока.

В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби , а во втором – неравные обыкновенные дроби . Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.

Определение.

равны , если справедливо равенство a·d=b·c .

Определение.

Две обыкновенные дроби a/b и c/d не равны , если равенство a·d=b·c не выполняется.

Приведем несколько примеров равных дробей. Например, обыкновенная дробь 1/2 равна дроби 2/4 , так как 1·4=2·2 (при необходимости смотрите правила и примеры умножения натуральных чисел). Для наглядности можно представить два одинаковых яблока, первое разрезано пополам, а второе – на 4 доли. При этом очевидно, что две четвертых доли яблока составляют 1/2 долю. Другими примерами равных обыкновенных дробей являются дроби 4/7 и 36/63 , а также пара дробей 81/50 и 1 620/1 000 .

А обыкновенные дроби 4/13 и 5/14 не равны, так как 4·14=56 , а 13·5=65 , то есть, 4·14≠13·5 . Другим примером неравных обыкновенных дробей являются дроби 17/7 и 6/4 .

Если при сравнении двух обыкновенных дробей выяснилось, что они не равны, то возможно потребуется узнать, какая из этих обыкновенных дробей меньше другой, а какая – больше . Чтобы это выяснить, используется правило сравнения обыкновенных дробей, суть которого сводится к приведению сравниваемых дробей к общему знаменателю и последующему сравнению числителей. Детальная информация по этой теме собрана в статье сравнение дробей: правила, примеры, решения .

Дробные числа

Каждая дробь является записью дробного числа . То есть, дробь – это всего лишь «оболочка» дробного числа, его внешний вид, а вся смысловая нагрузка содержится именно в дробном числе. Однако для краткости и удобства понятие дроби и дробного числа объединяют и говорят просто дробь. Здесь уместно перефразировать известное изречение: мы говорим дробь – подразумеваем дробное число, мы говорим дробное число – подразумеваем дробь.

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, отвечающие обыкновенным дробям, имеют свое уникальное место на , то есть, существует взаимно однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче попасть в точку, соответствующую дроби m/n нужно от начала координат в положительном направлении отложить m отрезков, длина которых составляет 1/n долю единичного отрезка. Такие отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n равных частей, что всегда можно сделать с помощью циркуля и линейки.

Для примера покажем точку М на координатном луче, соответствующую дроби 14/10 . Длина отрезка с концами в точке O и ближайшей к ней точке, отмеченной маленьким штрихом, составляет 1/10 долю единичного отрезка. Точка с координатой 14/10 удалена от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.

Равным дробям отвечает одно и то же дробное число, то есть, равные дроби являются координатами одной и той же точки на координатном луче. Например, координатам 1/2 , 2/4 , 16/32 , 55/110 на координатном луче соответствует одна точка, так как все записанные дроби равны (она расположена на расстоянии половины единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении).

На горизонтальном и направленном вправо координатном луче точка, координатой которой является большая дробь, располагается правее точки, координатой которой является меньшая дробь. Аналогично, точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби . Это разделение в своей основе имеет сравнение числителя и знаменателя.

Дадим определение правильных и неправильных обыкновенных дробей.

Определение.

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя, то есть, если m

Определение.

Неправильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, то есть, если m≥n , то обыкновенная дробь является неправильной.

Приведем несколько примеров правильных дробей: 1/4 , , 32 765/909 003 . Действительно, в каждой из записанных обыкновенных дробей числитель меньше знаменателя (при необходимости смотрите статью сравнение натуральных чисел), поэтому они правильные по определению.

А вот примеры неправильных дробей: 9/9 , 23/4 , . Действительно, числитель первой из записанных обыкновенных дробей равен знаменателю, а в остальных дробях числитель больше знаменателя.

Также имеют место определения правильных и неправильных дробей, базирующиеся на сравнении дробей с единицей.

Определение.

правильной , если она меньше единицы.

Определение.

Обыкновенная дробь называется неправильной , если она либо равна единице, либо больше 1 .

Так обыкновенная дробь 7/11 – правильная, так как 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , а 27/27=1 .

Давайте поразмыслим, чем же обыкновенные дроби с числителем, превосходящим или равным знаменателю, заслужили такое название – «неправильные».

Для примера возьмем неправильную дробь 9/9 . Эта дробь означает, что взято девять долей предмета, который состоит из девяти долей. То есть, из имеющихся девяти долей мы можем составить целый предмет. То есть, неправильная дробь 9/9 по сути дает целый предмет, то есть, 9/9=1 . Вообще, неправильные дроби с числителем равным знаменателю обозначают один целый предмет, и такую дробь может заменить натуральное число 1 .

Теперь рассмотрим неправильные дроби 7/3 и 12/4 . Достаточно очевидно, что из этих семи третьих долей мы можем составить два целых предмета (один целый предмет составляют 3 доли, тогда для составления двух целых предметов нам потребуется 3+3=6 долей) и еще останется одна третья доля. То есть, неправильная дробь 7/3 по сути означает 2 предмета да еще 1/3 долю такого предмета. А из двенадцати четвертых долей мы можем составить три целых предмета (три предмета по четыре доли в каждом). То есть, дробь 12/4 по сути означает 3 целых предмета.

Рассмотренные примеры приводят нас к следующему выводу: неправильные дроби, могут быть заменены либо натуральными числами, когда числитель делится нацело на знаменатель (например, 9/9=1 и 12/4=3 ), либо суммой натурального числа и правильной дроби, когда числитель не делится нацело на знаменатель (например, 7/3=2+1/3 ). Возможно, именно этим и заслужили неправильные дроби такое название – «неправильные».

Отдельный интерес вызывает представление неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (7/3=2+1/3 ). Этот процесс называется выделением целой части из неправильной дроби , и заслуживает отдельного и более внимательного рассмотрения.

Также стоит заметить, что существует очень тесная связь между неправильными дробями и смешанными числами .

Положительные и отрицательные дроби

Каждая обыкновенная дробь отвечает положительному дробному числу (смотрите статью положительные и отрицательные числа). То есть, обыкновенные дроби являются положительными дробями . К примеру, обыкновенные дроби 1/5 , 56/18 , 35/144 – положительные дроби. Когда нужно особо выделить положительность дроби, то перед ней ставится знак плюс, например, +3/4 , +72/34 .

Если перед обыкновенной дробью поставить знак минус, то эта запись будет соответствовать отрицательному дробному числу. В этом случае можно говорить об отрицательных дробях . Приведем несколько примеров отрицательных дробей: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Положительная и отрицательная дроби m/n и −m/n являются противоположными числами . К примеру, дроби 5/7 и −5/7 – противоположные дроби.

Положительные дроби, как и положительные числа в целом, обозначают прибавление, доход, изменение какой-либо величины в сторону увеличения и т.п. Отрицательные дроби отвечают расходу, долгу, изменению какой-либо величины в сторону уменьшения. Например, отрицательную дробь −3/4 можно трактовать как долг, величина которого равна 3/4 .

На горизонтальной и направленной вправо отрицательные дроби располагаются левее начала отсчета. Точки координатной прямой, координатами которых являются положительная дробь m/n и отрицательная дробь −m/n расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, но по разные стороны от точки O .

Здесь же стоит сказать о дробях вида 0/n . Эти дроби равны числу нуль, то есть, 0/n=0 .

Положительные дроби, отрицательные дроби, а также дроби 0/n объединяются в рациональные числа .

Действия с дробями

Одно действие с обыкновенными дробями – сравнение дробей - мы уже рассмотрели выше. Определены еще четыре арифметических действия с дробями – сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Остановимся на каждом из них.

Общая суть действий с дробями аналогична сути соответствующих действий с натуральными числами. Проведем аналогию.

Умножение дробей можно рассматривать как действие, при котором находится дробь от дроби. Для пояснения приведем пример. Пусть у нас есть 1/6 часть яблока и нам нужно взять 2/3 части от нее. Нужная нам часть является результатом умножения дробей 1/6 и 2/3 . Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Дальше рекомендуем к изучению информацию статьи умножение дробей – правила, примеры и решения .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Калькулятор онлайн.
Вычисление выражения с числовыми дробями.
Умножение, вычитание, деление, сложение и сокращение дробей с разными знаменателями.

С помощью данного калькулятора онлайн вы можете умножить, вычесть, поделить, сложить и сократить числовые дроби с разными знаменателями.

Программа работает с правильными, неправильными и смешанными числовыми дробями.

Данная программа (калькулятор онлайн) умеет:
- выполнять сложение смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять вычетание смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять деление смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять умножение смешанных дробей с разными знаменателями
- приводить дроби к общему знаменателю
- преобразовывать смешанные дроби в неправильные
- сокращать дроби

Также можно ввести не выражение с дробями, а одну единственную дробь.
В этом случае дробь будет сокращена и из результата выделена целая часть.

Калькулятор онлайн для вычисления выражений с числовыми дробями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода выражений с числовыми дробями, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода выражений с числовыми дробями

В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3 + 7/5
Результат: \(-\frac{2}{3} + \frac{7}{5} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&2/3 * 5&8/3
Результат: \(-1\frac{2}{3} \cdot 5\frac{8}{3} \)

Деление дробей вводится знаком двоеточие: :
Ввод: -9&37/12: -3&5/14
Результат: \(-9\frac{37}{12} : \left(-3\frac{5}{14} \right) \)
Помните, что на ноль делить нельзя!

При вводе выражений с числовыми дробями можно использовать скобки.
Ввод: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Результат: \(-\frac{2}{3} \cdot \left(6 \frac{1}{2} - \frac{5}{9} \right) : 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \)

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Обыкновенные дроби. Деление с остатком

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.

Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.