Числа. Натуральные числа

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

• подсчёте (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый …);
• натуральные числа - числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов , 1 предмет , 2 предмета , 3 предмета , 4 предмета , 5 предметов …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход . Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. , а также краткое доказательство ), что если (N , 1 , S) {\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)} и (N ~ , 1 ~ , S ~) {\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})} - две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны , то есть существует обратимое отображение (биекция) f: N → N ~ {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}} такая, что f (1) = 1 ~ {\displaystyle f(1)={\tilde {1}}} и f (S (x)) = S ~ (f (x)) {\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Ноль как натуральное число

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом N {\displaystyle \mathbb {N} } образует моноид .

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел ( 0 ∉ N {\displaystyle 0\notin \mathbb {N} } ), а множество натуральных чисел с нулём обозначается как N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как N {\displaystyle \mathbb {N} } , а без нуля - как N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество { 1 , 2 , … } {\displaystyle \{1,2,\dots \}} обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} . Множество { 0 , 1 , … } {\displaystyle \{0,1,\dots \}} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают Z ⩾ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{\geqslant 0}} .

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными .

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества », которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0 , 1) {\displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством . Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например , N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)} ).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

• Коммутативность сложения:

• Коммутативность умножения:

• Ассоциативность сложения:

• Ассоциативность умножения:

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {\displaystyle \mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A , порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A ], основные арифметические операции определятся следующим образом:

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

См. также

Примечания

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике . - М. : Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006,

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

1, 2, 3, 4, 5…

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

• 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
• 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
• 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.

МБОУ Лицей № 000

Реферат по математике на тему

«Натуральные числа»

Выполнил:

ученик 5г класс

Морозов Ваня

Проверил:

учитель математики

г. Новосибирск, 2012 год

Введение – 3

Для чего нам нужны натуральные числа – 4

Виды натуральных чисел - 5

Заключение – 6

Использованная литература – 7

Введение

В настоящее время люди не могут обойтись без чисел. Числа окружают нас повсюду, мы сталкиваемся с ними каждую минуту нашей жизни. Из огромного множества чисел самой простой группой являются натуральные числа , с которых мы и начинаем наш счет.

Цель: узнать, на какие виды можно разделить натуральные числа.

Для чего нам нужны натуральные числа.

Натуральные числа применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры являются "кирпичиками" при построении чисел. Для написания числа может быть использована одна или несколько цифр. Такую запись чисел называют десятичной, потому что используется всего 10 различных цифр.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Натуральный ряд бесконечен, у него есть начало, но нет конца, то есть наибольшего натурального числа нет, всегда можно найти натуральное число, которое будет больше.

Самое маленькое натуральное число - единица (1), а каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы, если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц): 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков), 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нужно запомнить, что нуль не относят к натуральным числам. Это значит что сам по себе нуль не является натуральным числом, но его часто используют для написания натуральных чисел, чтобы обозначить что в числе нет единиц, или десятков, или сотен,...

Виды натуральных чисел.

Если запись натурального числа состоит из одного знака - одной цифры, то его называют однозначным . Например, числа 1, 5, 8 - однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков - двух цифр, то его называют двузначным . Например, числа 14, 33, 28, 95 - двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам: числа 386, 555, 951 - трехзначные ; числа 1346, 5787, 9999 - четырехзначные и т. д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными . Для удобства восприятия и чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Например: , 1 250.

Эти группы называют классами . Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие - класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т. д.

Тысяча - это тысяча единиц(1 000). Ее записывают 1 тыс. или 1 000.

Миллион - это тысяча тысяч (1000 тыс.). Его записывают: 1 млн или 1

Миллиард - это тысяча миллионов(1000 млн). Его записывают: 1 млрд или 1 000.

Рассмотрим число

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, н единиц в классе миллионов и 15 единиц в классе миллиардов.

Не произносят название класса единиц, а также класса, все три цифры которого - нули.

15 миллиардов 389 миллионов 286. (тысяч нуль, поэтому не произносим).

Заключение.

Теперь можно с уверенностью сказать, что натуральные числа можно разделить на несколько видов. А при чтении натуральных чисел, нужно быть очень внимательным.

Использованная литература:

2. http://www. *****/lessons/5/1.html

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную

Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.

Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

• Единица считается натуральным числом.
• Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
• Перед единицей нет никакого натурального числа.
• Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
• Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

• сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
• умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
• возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:

Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

• Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
• Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
• Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
• Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
• распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.

«Квадратичная функция» - Свойства: -Промежутки монотонности при а > 0 при а < 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Степенная функция 9 класс» - Нам знакомы функции. Степенная функция. У. 0. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, … Показатель – четное натуральное число (2n). У = х. Парабола. Кубическая парабола. Функция у=х2n четная, т.к. (–х)2n = х2n.

«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. -1. Построить график функции. 2) Построить ось симметрии x=-1. y. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. Построение графика квадратичной функции. x. -7. План построения.

«График функции Y X» - Графиком функции y=x2 + п является парабола с вершиной в точке (0; п). График функции y=(x - m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0). Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Страница отображается по щелчку. Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m)2 + п является парабола с вершиной в точке (m; п).

«Натуральный логарифм» - 0,1. «Логарифмический дартс». 0,04. 121. Натуральные логарифмы. 7. 4.

«Квадратичная функция и её график» - Автор: Гранов Илья. Решение задач: Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. 4.ли графику функции y=4x точка: А(0,5:1) В(-1:-4)С(-2:16)D(0,1:0,4)? При а=1 формула у=аx принимает вид.

Всего в теме 25 презентаций