Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Пусть f {\displaystyle f} - проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

Пусть f {\displaystyle f} - проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

1. 
   Формулировка;
2. 
   Доказательство;

1. 
   Теорема о пропорциональных отрезках;
2. 
   Теорема Чевы;

1. 
   Формулировка;
2. 
   Доказательство;

1. 
   Теорема Менелая;

1. 
   Формулировка;
2. 
   Доказательство;

1. 
   Задачи и их решения;
2. 
   Заключение;
3. 
   Список использованных источников и литературы.

Введение.

Все незначительное нужно,

Чтобы значительному быть…

И. Северянин
Данный реферат посвящен применению метода параллельных прямых к доказательству теорем и решению задач. Почему мы обращаемся к этому методу? В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной. Именно данная задача и дала импульс к началу работы по изучению и освоению метода параллельных прямых при решении задач на нахождение отношения длин отрезков.

Идея самого метода построена на использовании обобщенной теоремы Фалеса. Теорема Фалеса изучается в восьмом классе, ее обобщение и тема «Подобие фигур» в девятом и только в десятом классе, в ознакомительном плане, изучаются две важные теоремы Чевы и Менелая, с помощью которых относительно легко решается ряд задач на нахождение отношения длин отрезков. Поэтому на ступени основного образования мы можем решать довольно узкий круг задач по данному учебному материалу. Хотя на итоговой аттестации за курс основной школы и на ЕГЭ по математике задачи по данной теме (Теорема Фалеса. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников) предлагаются во второй части экзаменационной работы и относятся к высокому уровню сложности.

В процессе работы над рефератом стало возможным углубление наших знаний по данной теме. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема не входит в школьную программу) построено на методе параллельных прямых. В свою очередь, данная теорема позволила предложить еще один способ доказательства теорем Чевы и Менелая. И в итоге мы смогли научиться решать более широкий круг задач на сравнение длин отрезков. В этом и заключается актуальность нашей работы.

Обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Дано:

Прямая а рассечена параллельными прямыми (А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 ,…, А n B n ) на отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, A n -1 A n , а прямая b - на отрезки В 1 В 2 , В 2 В 3 , …, В n -1 В n .

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай (рис. б)

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники

А 1 А 2 В 2 В 1 и А 2 А 3 В 3 В 2 – параллелограммы. Поэтому

А 1 А 2 = В 1 В 2 и А 2 А 3 =В 2 В 3 , откуда следует, что

2 случай (рис. в)

Прямые a и b не параллельны. Через точку А 1 проведем прямую с , параллельную прямой b . Она пересечет прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в некоторых точках С 2 и С 3 . Треугольники А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 подобны по двум углам (угол А 1 – общий, углы А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 равны как соответственные при параллельных прямых А 2 В 2 и А 3 В 3 секущей А 2 А 3 ), поэтому

1+

Или по свойству пропорций

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А 1 С 2 = В 1 В 2 , С 2 С 3 = В 2 В 3 . Заменяя в пропорции (1) А 1 С 2 на В 1 В 2 и С 2 С 3 на В 2 В 3 , приходим к равенству

что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС= m : n , BM : MC = p : q . Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О (рис. 124б).

Доказательство:
Через точку М проведем прямую MD (рис. 124а), параллельную ВК . Она пересекает сторону АС в точке D , и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК= mx . Тогда в соответствии с условием задачи КС= nx , а так как KD : DC = p : q , то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что .

Теорема Чевы.
Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 .

2.отрезки А А 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке.

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С 1 , А 1 и В 1 взяты на сторонах АВ , ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков А А 1 и ВВ 1 и проведем прямую СО . Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С 2 . Так как отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C 1 и C 2 делят сторону AB C 1 и C 2 совпадают, и, значит, отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке O .

Что и требовалось доказать.
Теорема Менелая.

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 .

2. точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой
Доказательство:
1. Пусть точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD ,BE и CF параллельно прямой В 1 А 1 (точка D лежит на прямой ВС ). Согласно обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем

т.е. выполнено равенство (5).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В 1 взята на продолжении стороны АС , а точки С 1 и А 1 – на сторонах АВ и ВС , причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Пусть прямая А 1 С 1 пересекает продолжение стороны АС в точке В 2, тогда по доказанному в первом пункте

Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки В 1 и В 2 делят сторону АС в одном и том же отношении. Следовательно, точки В 1 и В 2 совпадают, и, значит, точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Что и требовалось доказать.

Решение задач.

Решение : Нужно найти отношение АВ 1:В 1 С, АС искомый отрезок на котором лежит точка В 1 .

Метод параллельных заключается в следующем:

1. 
   рассечь искомый отрезок параллельными прямыми. Одна ВВ 1 уже есть, а вторую МN проведем через точку М, параллельно ВВ 1 .
2. 
   Перенести известное отношение с одной стороны угла на другую его сторону, т.е. рассмотреть углы стороны, которых и рассекаются этими прямыми.

Перейдем к интересующему нас отношению АВ 1:В 1 С= АВ 1:(В 1 N+ NС)= 2n:(3р+2р)=(2*3р):(5р)=6:5.

Ответ: АВ 1:В 1 С = 6:5.

Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АМС. Тогда прямая ВВ 1 пересекает две стороны треугольника в точках В 1 и Р, а продолжение третьей в точке В. Значит применимо равенство: , следовательно
Задача №2 В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ: МС = 1: 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

Решение: Нужно найти отношение АК к КВ.

1) Проведем прямую NN 1 параллельную прямой СК и прямую NN 2 параллельную прямой ВМ.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВN 1:N 1 K=1:1 или ВN 1 = N 1 K = y .

3) Стороны угла ВСM пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CN 2:N 2 M=1:1 или CN 2 = N 2 M=3:2=1,5.

4) Стороны угла NАС пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АО: ОN=1:1,5 или АО=m ON=1,5m.

5) Стороны угла ВАN пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АK: KN 1 =1:1,5 или АK=n KN 1 =1,5 n .

6) KN 1 =y=1,5n.

Ответ: АК:КВ=1:3.

Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Чевы, применив ее к треугольнику АВС. По условию точки N, М, К лежат на сторонах треугольника АВС и отрезки АN, СК и ВМ пересекаются в одной точке, значит справедливо равенство: , подставим известные отношения, имеем , АК:КВ=1:3.

Задача№3 На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD: DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
Решение: Нужно найти 1) АК:КD=? 2) ВК:КЕ=?

1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой BE.

2) Стороны угла ВСЕ пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CD 1:D 1 E=5:2 или CD 1 = 5z , D 1 E=2z.

3) По условию АЕ:ЕС=1:2, т.е. АЕ=х, ЕС=2х, но ЕС= CD 1 + D 1 E, значит 2у=5 z +2 z =7 z , z =

4) Стороны угла DСA пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем

5) Для определения отношения ВК:КЕ проведем прямую ЕЕ 1 и рассуждая аналогичным образом получим

Решение: Пусть О точка пересечения биссектрисы AD и медианы СЕ. Нужно найти отношение АО:ОD.

1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой СE.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВD 1:D 1 E=2:1 или ВD 1 = 2p , D 1 E=p.

3) По условию АЕ:ЕB=1:1, т.е. АЕ=y, ЕB=y, но EB= BD 1 + D 1 E, значит у=2 p + p =3 p , p =
4) Стороны угла BAD пересекаются прямыми OЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем .

Ответ: АО:ОD=3:1.

Задача №6 На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне АС, делит сторону ВС.

Решение: Пусть М 1 точка пересечения прямой, проходящая через точку К параллельно стороне АС и стороны ВС. Нужно найти отношение ВМ 1:М 1 С.

1) Стороны угла АМС пересекаются прямыми КМ 1 и АС и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ММ 1:М 1 С=3:1 или ММ 1 = 3z, М 1 С=z

2) По условию ВМ:МС=1:1, т.е.ВМ=y, МС=y, но МС= ММ 1 + М 1 С, значит у=3 z + z =4 z ,

3) .

Ответ: ВМ 1:М 1 С =7:1.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АВС. Тогда прямая КN пересекает две стороны треугольника в точках К и K 1 , а продолжение третьей в точке N. Значит применимо равенство: , следовательно ВК 1:К 1 С=2:1.

Задача №8

Сайты:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

ЕГЭ 2011 Математика Задача С4 Р.К.Гордин М.: МЦНМО, 2011, - 148 с

Заключение:

Решение задач и теорем на нахождение отношения длин отрезков базируется на обобщенной теореме Фалеса. Мы сформулировали метод, который позволяет, не применяя теорему Фалеса, пользоваться параллельными прямыми, переносить известные пропорции с одной стороны угла на другую сторону и, таким образом, находить место расположения нужных нам точек и сравнивать длины. Работа над рефератом помогла нам научиться решать геометрические задачи высокого уровня сложности. Мы осознали правдивость слов известного русского поэта Игоря Северянина: «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» и уверены, что на ЕГЭ мы сможем найти решение предложенным задачам, используя метод параллельных прямых.

1 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема.

Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.
В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес.

Надпись на гробнице Фалеса Милетского

Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.

Кто же такой этот Фалес Милетский ? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.

Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.

Довольно широко известна легенда, которая характеризует Фалеса как находчивого человека. Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать то, что и философы могут при желании жить в достатке. Еще зимой Фалес по наблюдению за звездами определил, что летом будет хороший урожай маслин. Тогда же он нанял маслодавильни в Милете и на Хиосе. Это обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда же маслины дали богатый урожай, свои маслодавильни Фалес начал сдавать внаем. Собранное большое количество денег таким методом расценивалось как доказательство того, что философы могут зарабатывать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем. Эта легенда, кстати, повторялась самим Аристотелем.

Что же касается геометрии, то многое из его «открытий» было позаимствовано у египтян. И все же этот перенос знаний в Грецию считается одной из основных заслуг Фалеса Милетского.

Достижениями Фалеса считаются формулировка и доказательство следующих теорем:

• вертикальные углы равны;
• равными треугольниками признаются те, у которых сторона и два прилегающих угла соответственно равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Именем Фалеса названа еще одна теорема, которая полезна при решении геометрических задач. Существует ее обобщенный и частный вид, обратная теорема, формулировки также могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их всех остается одним. Рассмотрим эту теорему.

Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Допустим, точки А 1 , А 2 , А 3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а В 1 , В 2 , В 3 – точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Необходимо доказать, что если А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Через точку В 2 проведем прямую, параллельную прямой А 1 А 2 . Обозначим новую прямую С 1 С 2 . Рассмотрим параллелограммы A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 .

Свойства параллелограмма позволяют нам утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . А так как по нашему условию А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и C 1 B 2 = В 2 С 2 .

И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше).

А это значит, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим углам).

Таким образом, теорема Фалеса доказана.

Использование данной теоремы значительно облегчит и ускорит решение геометрических задач. Успехов в освоении этой занимательной науки математики!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.
В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес.

Надпись на гробнице Фалеса Милетского

Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.

Кто же такой этот Фалес Милетский ? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.

Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.

Довольно широко известна легенда, которая характеризует Фалеса как находчивого человека. Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать то, что и философы могут при желании жить в достатке. Еще зимой Фалес по наблюдению за звездами определил, что летом будет хороший урожай маслин. Тогда же он нанял маслодавильни в Милете и на Хиосе. Это обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда же маслины дали богатый урожай, свои маслодавильни Фалес начал сдавать внаем. Собранное большое количество денег таким методом расценивалось как доказательство того, что философы могут зарабатывать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем. Эта легенда, кстати, повторялась самим Аристотелем.

Что же касается геометрии, то многое из его «открытий» было позаимствовано у египтян. И все же этот перенос знаний в Грецию считается одной из основных заслуг Фалеса Милетского.

Достижениями Фалеса считаются формулировка и доказательство следующих теорем:

• вертикальные углы равны;
• равными треугольниками признаются те, у которых сторона и два прилегающих угла соответственно равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Именем Фалеса названа еще одна теорема, которая полезна при решении геометрических задач. Существует ее обобщенный и частный вид, обратная теорема, формулировки также могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их всех остается одним. Рассмотрим эту теорему.

Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Допустим, точки А 1 , А 2 , А 3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а В 1 , В 2 , В 3 – точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Необходимо доказать, что если А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Через точку В 2 проведем прямую, параллельную прямой А 1 А 2 . Обозначим новую прямую С 1 С 2 . Рассмотрим параллелограммы A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 .

Свойства параллелограмма позволяют нам утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . А так как по нашему условию А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и C 1 B 2 = В 2 С 2 .

И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше).

А это значит, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим углам).

Таким образом, теорема Фалеса доказана.

Использование данной теоремы значительно облегчит и ускорит решение геометрических задач. Успехов в освоении этой занимательной науки математики!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Поделиться:

5,00 / 3

Главная →Поделки для дачи → Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника →

Статьи по теме:

• Как собрать и высушить листья смородины для чая?
• К чему снится длинная дорога
• Обеспечение потребностей в ERP 1с торговля формирование заказов по потребностям
• Кто контролирует негосударственные пенсионные фонды