Проекция вектора на ось физика примеры. Калькулятор онлайн.Вычисление проекции вектора на вектор

Вначале вспомним, что такое координатная ось , проекция точки на ось и координаты точки на оси .

Координатная ось - это прямая, которой придается какое-то направление. Можете считать, что это вектор с бесконечно большим модулем.

Координатная ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекция точки на ось - это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось (рис. 8). То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координата точки на ось - это число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

Скалярная проекция вектора на ось - это число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Важно! Обычно вместо выражения скалярная проекция вектора на ось говорят просто - проекция вектора на ось , то есть слово скалярная опускают. Проекция вектора обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y , его проекция будет обозначаться а y (рис. 9).

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Надо помнить: скалярная проекция вектора на ось (или, просто, проекция вектора на ось) - это число (не вектор)! Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н, отрицательной, если величина х к меньше величины х н и равной нулю, если х к равно х н (рис. 10).

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка 11 видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус - функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

При решении задач часто будут использоваться следующие свойства проекций: если

а = b + c +…+ d , то а x = b x + c x +…+ d x (аналогично на другие оси),

a = mb , то а x = mb x (аналогично на другие оси).

Формула а x = а Cos α будет очень часто встречаться при решении задач, поэтому ее обязательно надо знать. Правило определения проекции надо знать наизусть!

Запомните!

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Еще раз - НАИЗУСТЬ!

Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость позволяет построить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный между перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.

Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.

В векторной алгебре часто приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование выполняется легко, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Однако задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 - вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задача нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что возможно осуществить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.

Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и равна величине, ей противоположной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:

Векторная и скалярная проекции не всегда терминологически разделяются строго на практике. Обычно пользуются термином «проекция вектора», подразумевая под этим скалярную проекцию вектора. При решении же необходимо четко эти понятия различать. Следуя установившейся традиции, будем использовать термины «проекция вектора», подразумевая скалярную проекцию, и «векторная проекция» - в соответствии с установленным смыслом.

Докажем теорему, позволяющую вычислять скалярную проекцию заданного вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекция вектора на ось L равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью, то есть

(3.5)

Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L одинаково ориентированы).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Выполним предварительно построения, позволяющие найти угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О - начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет искомым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:

Так как ось L и прямая MN параллельны.

Выделим два случая взаимного расположения вектора и оси L.

1. Пусть векторная проекция и ось L одинаково ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .

2. Пусть и L ориентированы в разные стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в противоположные стороны).

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некоторой точке оси L, и эта ось расположена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L - угол , кроме того сами векторные проекции образуют между собой угол , то

Введение…………………………………………………………………………3

1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4

2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5

3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6

4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8

5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение:

Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.

Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.

Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.

1. Значение вектора и скаляра.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .

Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:

Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.

Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.

Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.

2.Определение проекции, оси и координатой точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

3.Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

4. Основная формула векторной алгебры.

Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а x = а x ·i, а y = а y ·j.

Но в соответствии справилом сложения векторов

а = а x + а y .

а = а x ·i + а y ·j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.

Теперь мы готовы ввести важнейшее понятие проекции вектора на ось. Оно постоянно используется при решении физических задач.

7.5.1 Что такое проекция вектора на ось?

Пусть даны вектор ~a и ось X. Предполагается, что на оси X имеется масштаб, позволяющий измерять длины отрезков и присваивать им размерность вектора ~a.

Из начала и конца вектора ~a опустим перпендикуляры на ось X; пусть A и B основания этих перпендикуляров (рис. 7.26 ). Длину отрезка AB обозначим jABj.

Рис. 7.26. Проекция вектора на ось

Определение. Проекция ax вектора ~a на ось X равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол " между вектором ~a и осью X является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если " тупой (или развёрнутый). Если угол " прямой, то ax = 0.

Короче говоря, имеем следующую формулу:

Рисунок 7.27 иллюстрирует все эти возможности.

Здесь, как обычно, a = j~aj модуль вектора ~a.

Действительно, если " < 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

Если " > 90 , то, переходя в средней части рис. 7.27 к углу, смежному c углом ", мы видим, что формула (7.10 ) даёт длину среднего красного отрезка со знаком минус (за счёт отрицательности косинуса), что нам как раз и нужно.

Наконец, если " = 90 , то формула (7.10 ) даёт ax = 0, поскольку косинус прямого угла равен нулю. Именно так и должно быть (правая часть рисунка).

Предположим теперь, что на оси X задано вдобавок начало отсчёта, так что она является привычной координатной осью. Тогда имеем ещё одну формулу для проекции ax , которая также содержит в ¾заархивированном¿ виде все три случая рисунка7.27 .

Следствие 2. Пусть x1 и x2 координаты соответственно начала и конца вектора ~a. Тогда проекция ax вычисляется по формуле:

Действительно, посмотрим на рис. 7.28 . Это случай положительной проекции. Из рисунка очевидно, что разность x2 x1 равна длине красного отрезка, а эта длина в данном случае как раз и есть проекция ax .

Рис. 7.28. Проекция вектора на ось. К следствию 2

Что будет в оставшихся двух случаях (ax < 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 Свойства проектирования вектора на ось

Операция проектирования вектора на ось замечательным образом согласована с операциями сложения векторов и умножения скаляра на вектор. А именно, какова бы ни была ось X, имеют место следующие два свойства проектирования.

1. Проекция вектора ~a + b на ось X равна ax + bx .

Краткая словесная формулировка: проекция суммы векторов равна сумме их проекций. Это справедливо для суммы любого числа векторов, не только двух.

Прежде всего проиллюстрируем данное утверждение на рисунке. Поместим начало век-

тора b в конец вектора ~a, и пусть ~c = ~a + b (рис. 7.29 ).

На данном рисунке хорошо видно, что проекция cx равна сумме длин красного и зелёного отрезков, то есть как раз ax + bx .

Правда, рис. 7.29 сделан для случая ax > 0 и bx > 0. Чтобы доказать наше утверждение сразу для всех возможных значений проекций ax и bx , мы проведём следующее универсальное рассуждение, опирающееся на формулу (7.11 ).

Эти обозначения также присутствуют на рис. 7.29 .

В силу формулы (7.11 ) имеем: ax = x2 x1 , bx = x3 x2 , cx = x3 x1 . Теперь легко видеть, что:

ax + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :

Наше первое свойство проектирования тем самым доказано.

2. Проекция вектора ~a на ось X равна a x .

Словесная формулировка: проекция произведения скаляра на вектор равна произведению скаляра на проекцию вектора.

Снова начнём с иллюстрации. В левой части рисунка 7.30 изображён вектор ~a с положительной проекцией ax .

Рис. 7.30. Проекция вектора ~a равна ax

Если умножить вектор ~a на 2, то его длина увеличится в два раза, проекция вектора также увеличится вдвое (сохраняя знак) и станет равна 2ax .

Если умножить вектор ~a на 2, то его длина опять-таки увеличится в два раза, но направление изменится на противоположное. Проекция изменит знак и станет равна 2ax .

Тем самым суть второго свойства ясна, и теперь можно дать строгое доказательство.

Итак, пусть ~ . Мы ходим доказать, чтоx x . b = ~a b = a

Воспользуемся для этого формулой (7.10 ). Имеем:

ax = a cos "; bx = b cos ;

где угол между вектором и осью, а угол между вектором ~ и осью. Кроме

того, в силу определения умножения скаляра на вектор:

Таким образом:

bx = j ja cos:

Если, то j j ; в этом случае вектор ~ сонаправлен с вектором, и потому.

> 0 = b ~a = "

bx = a cos " = ax :

Если, то j j ; в этом случае вектор ~ противоположен по направлению векто-

ру ~a. Нетрудно сообразить при этом, что = " (например, если " острый, то есть смежный с ним тупой, и наоборот). Имеем тогда:

bx = ()a cos(") = ()a(cos ") = a cos " = ax :

Итак, во всех случаях получается нужное соотношение, и тем самым второе свойство проектирования полностью доказано.

7.5.3 Операция проектирования в физике

Доказанные свойства операции проектирования очень важны для нас. В механике, например, мы будем пользоваться ими на каждом шагу.

Так, решение многих задач по динамике начинается с записи второго закона Ньютона в векторной форме. Возьмём, к примеру, маятник массы m, подвешенный на нити. Для маятника второй закон Ньютона будет иметь вид:

Записав второй закон Ньютона в векторной форме, мы переходим к его проектированию на

При переходе от векторного равенства (7.12 ) к скалярному равенству (7.13 ) использованы оба свойства проектирования! А именно, благодарясвойству 1 мы записали проекцию суммы векторов как сумму их проекций; в силу жесвойства 2 мы смогли записать проекции векторов m~a и m~g в виде max и mgx .

Таким образом, оба свойства операции проектирования обеспечивают переход от векторных равенств к скалярным, и переход этот можно выполнять формально и не задумываясь: отбрасываем стрелки в обозначениях векторов и ставим вместо них индексы проекций. Именно так выглядит переход от уравнения (7.12 ) к уравнению (7.13 ).

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 – x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 – x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 < x 1 и проекция x 2 – x 1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l , то x 2 = x 1 и x 2 – x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.