Счастливые билеты

Городская легенда о счастливом билете возникла, вероятно, вместе с этим документом. Покупая билет на проезд в любом виде транспорта, человек пытается угадать, принесет ли он ему счастье. Совсем не редкость, когда получивший такую частицу бумаги, стоит и подсчитывает числа, стараясь узнать повезло или нет. Билеты, названные «счастливыми» люди способны хранить годами носить как талисманы.

Поверье о «счастливом» билете основано на нумерологических упражнениях с идентификационным номером билета. Главное требование - получение талона на проезд в обычном порядке. Специальный поиск нужных цифр не считается по-настоящему удачным. Номер должен быть шестизначным. Хотя, существуют способы, расчета «счастливых» билетов, которые можно употреблять и на документах с нечетным количеством цифр.

Известны множество способов определения таких талонов. Один из них - «ленинградский». Согласно этой концепции, сумма четных чисел номера билета должна быть равна сумме нечетных. Самый популярный - «московский». Для определения «счастливого» билета этим способом, следует сложить между собой первые три числа, а затем вторую тройку. Суммы должны совпасть.

Жители Новосибирска поступают похожим способом, чтобы определить «удачный» талон. Правда, есть особенность - они складывают каждую тройку чисел до получения однозначного. С каждой стороны должно получиться одно и то же число, тогда билет «счастливый».

Иногда подсчитывают сумму каждой пары чисел в номере. Если три равны - талон наверняка принесет счастье.

Симметрия в этом деле - не на последнем месте. Номер, отмеченный таким знаком скорее всего принесет обладателю удачу. Одинаковое сочетание цифр как в правой, так и в левой половине номера - верный признак благосклонности фортуны. Существует способ «отзеркаливания». Когда первые три цифры, словно отражаясь в зеркале, повторяют вторую тройку - билет считается «счастливым».

Людям свойственно считать некоторые числа особенным, приносящими удачу только им. Талонами, волшебным образом влияющими на судьбу считаются те, сумма числ в номерах которых соответствует счастливому числу данной личности. Сложив между собой все цифры до получения однозначного числа, можно это узнать.

Любителям тренировать мозг, стоит выполнить различные упражнения с цифрами номера талона. Их можно перемножить, затем из полученного производного вычесть число их суммы. Если в результате получится ноль - это верный признак того, что судьба благоволит обладателю.

Когда не возникает сомнений в том, что билет приносит удачу, следует позаботиться о том, чтобы он всегда был рядом с человеком, как талисман. Только так он будет приносить счастье тому, кто его приобрел.

"Счастливый билет"
Все мы бываем в транспорте. По пути на работу, домой, к месту отдыха и
т. д. И очень часто мы покупаем проездной билет, имеющий в большинстве
случаев шестизначный номер. Сложив первые три цифры номера билета и
сравнив их с суммой второй тройки цифр мы и определяем «счастливость»
данного билета. Со «счастливым» номером все более или менее понятно и
большинству известно. А другие, отличные от нуля цифры? Ясно, что
разница цифр варьируется от 0 до 27. Так и родилась эта табличка…
Действие билета тривиально (кстати, есть его совсем не обязательно!) -
билет действует в течение суток с момента активации или до приобретения
следующего билета с ничего не значащим номером. Активация билета
происходит после сосчитывания номера и осознания его значения - так
сказать, магический ритуал.
(Примечание. Если следующий билет имеет самостоятельное значение, а
предыдущий еще не погашен - одно значение накладывается на другое. Ну,
например - вы взяли билет с разницей в цифрах = 1 = - что означает
свидание. Пересели на другой транспорт, никого знакомого не встретив -
то есть билет еще активен и не «сработал». Взяли новый билетик - а у
него разница цифр = 7 = - то есть извести. Так что или может произойти
два события, или они сольються в одно - на свидании вы еще получите
известие («Я беременна! » - шутка…). Ну и так далее. Комбинации из
последовательности трех чисел авторами не испытывались - нет больших
статистических данных при езде с тремя пересадками - редкость,
понимаете).
Данная схема определена опытным путем. Как в любом экспериментальном
деле, возможны погрешности. Присылайте ваши наблюдения и они будут
учтены в следующий раз.

Разница цифр Значение Толкование

0 Удача Какое-либо задуманное дело закончится удачно или же вам в
чем-то явно повезет.

1 Свидание Вы встретите человека, которого будете рады увидеть (встреча
личная, не по работе).

2 Встреча У вас состоится деловая встреча.

3 Повтор Что-то придется повторить, а иначе - не получится.

4 Предупреждение Будьте внимательны! Сегодня вы можете опоздать к пункту
назначения! Не расслабляйтесь и все будет успешно. Но если зазеваетесь -
опоздание гарантировано!

5 Приятность Приятная встреча или событие улучшат вам настроение!

6 Неприятность Неприятная встреча или событие могут испортить вам
настроение. Не переживайте сильно!

7 Известие Вы от кого-нибудь получите весточку!

8 Хаос Что-то сегодня не сможет срастись, состыковаться, завершиться…

9 Завершение Какое-то начатое дело сегодня закроется окончательно.

10 Начало Сегодня вы начнете новый проект или вас осенит новая мысль,
идея.

11 Прогулка Ну или пробка, или просто придется прогуляться…

12 Дюжина Возможно распитие спиртных напитков…

13 Чертова дюжина Возможно распитие спиртных напитков до непотребного
состояния…

14 Ничего не значит
15 Ничего не значит
16 Ничего не значит
17 Ничего не значит
18 Ничего не значит
19 Ничего не значит
20 Ничего не значит
21 Ничего не значит
22 Ничего не значит
23 Ничего не значит
24 Ничего не значит
25 Повтор Что-то придется повторить, а иначе - не получится.

26 Встреча У вас состоится деловая встреча.

27 Свидание Вы встретите человека, которого будете рады увидеть
(встреча личная, не по работе).

Сколько существует способов заплатить 50 центов? Мы считаем, что платить можно пенни 1 , никелями 5 , даймами 10 , четвертаками 25 и полудолларами 50 . Дьёрдь Пойа популяризовал эту задачу, продемонстрировав поучительный способ её решения с помощью производящих функций.

Запишем бесконечную сумму, представляющую все возможные способы размена. Начать проще всего со случая, когда имеется меньше разновидностей монет, поэтому положим для начала, что у нас нет никаких монет, кроме пенни. Сумму всех способов заплатить некоторое количество пенни (и только пенни) можно записать в виде

поскольку каждый вариант выплаты включает некоторое количество никелей, выбираемых из первого множителя, и некоторое количество пенни, выбираемых из P . (Заметьте, что N не равняется сумме 1 + 1 + 5 + (1 + 5 ) 2 + (1 + 5 ) 3 + ..., поскольку эта сумма включает многие виды выплат более чем по одному разу. Например, член (1 + 5 ) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 трактует 1 5 и 5 1 , как если бы они были различными, но мы хотим перечислить все множества монет по одному разу безотносительно к их порядку.)

Аналогично, если допустить ещё и даймы, то получим бесконечную сумму

Наша задача состоит в том, чтобы найти, сколько слагаемых в C сто́ят ровно 50 центов.

Задача решается с помощью простого трюка. Заменим 1 на z , 5 на z 5 , 10 на z 10 , 25 на z 25 и 50 на z 50 . Каждое слагаемое тогда заменится на z n , где n — стоимость исходного слагаемого в пенни. Например, слагаемое 50 10 5 5 1 превратится в z 50+10+5+5+1 = z 71 . Каждый из четырёх возможных способов заплатить 13 центов, а именно, 10 1 3 , 5 1 8 , 5 2 1 3 и 1 13 , сведётся к z 13 ; следовательно, коэффициентом при z 13 после z -подстановки будет 4.

Пусть P n , N n , D n , Q n и C n обозначают число способов заплатить сумму в n центов, если можно использовать монеты не старше, соответственно, 1, 5, 10, 25 и 50 центов. Наш анализ показал, что эти числа суть коэффициенты при z n в соответствующих степенных рядах

Очевидно, что P n = 1 для всех n ≥0 . По кратком размышлении легко доказать, что N n = [n /5] + 1: для того чтобы составить сумму в n центов из пенни и никелей, мы должны взять 0, или 1, или..., или [n /5] никелей, после чего останется лишь единственный способ выбрать требуемое число пенни. Итак, значения P n и N n легко вычисляются, однако с D n , Q n и C n дело обстоит гораздо сложнее.

Один из подходов к исследованию этих формул основан на замечании, что 1 + z m + z 2m + ... есть просто 1/(1 – z m ). Следовательно, мы можем записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при z n в этих уравнениях, получим рекуррентные соотношения, из которых желаемые коэффициенты легко вычисляются:

Например, коэффициент при z n в D = (1 – z 25)Q равен Q n – Q n –25 ; поэтому должно быть Q n – Q n –25 = D n , как и записано выше.

Можно было бы раскрыть эти соотношения и выразить Q n , например, в виде Q n = D n + D n –25 + D n –50 + D n –75 + ..., где сумма обрывается, когда индексы становятся отрицательными. Однако, исходная, неитеративная форма удобна тем, что каждый коэффициент вычисляется с помощью всего одного сложения, как в треугольнике Паскаля.

Используем эти соотношения, чтобы найти C 50 . Во-первых, C 50 = C 0 + Q 50 , так что нам нужно знать Q 50 . Далее, Q 50 = Q 25 + D 50 и Q 25 = Q 0 + D 25 ; поэтому нас также интересуют D 50 и D 25 . Эти значения D n в свою очередь, зависят от D 40 , D 30 , D 20 , D 15 , D 10 и D 5 и от N 50 , N 45 , ..., N 5 . Таким образом, чтобы определить все нужные коэффициенты, достаточно выполнить простые вычисления:

В самом низу таблицы находится ответ C 50: имеется ровно 50 способов дать 50 центов «на чай».

А что можно сказать о замкнутой форме для C n ? Перемножение всех уравнений даёт нам компактное выражение для производящей функции

которая является рациональной функцией от z , знаменатель которой имеет степень 91. Таким образом, мы можем разложить знаменатель на 91 множитель и выразить C n в «замкнутом виде», состоящем из 91 слагаемого. Но такое ужасное выражение не лезет ни в какие ворота. Нельзя ли в этом частном случае найти что-либо лучшее, а не применять общий метод?

А вот и первый проблеск надежды: если в C (z ) заменить 1/(1 – z ) на (1 + z + z 2 + z 3 + z 4)/(1 – z 5):

то степень знаменателя «сжатой» функции Č (z ) уже только 19, так что эта функция гораздо лучше исходной. Новое выражение для C (z ) показывает, в частности, что C 5n = C 5n +1 = C 5n +2 = C 5n +3 = C 5n +4 ; и действительно, это соотношение легко объяснить: чаевые в 53 цента можно дать ровно столькими же способами, как и чаевые в 50 центов, поскольку количество пенни по модулю 5 заранее известно.

Однако даже для Č (z ) не существует простого выражения, основанного на корнях знаменателя. Вероятно, простейший способ вычисления коэффициентов Č (z ) получится, если заметить, что каждый сомножитель в знаменателе является делителем 1 – z 10 . Следовательно, мы можем записать

Вот, для полноты картины, развернутое выражение для A (z ):

(1 + z + ... + z 9) 2 (1 + z 2 + ... + z 8)(1 + z 5) =
= 1 + 2z + 4z 2 + 6z 3 + 9z 4 + 13z 5 + 18z 6 + 24z 7 +
+ 31z 8 + 39z 9 + 45z 10 + 52z 11 +57z 12 + 63z 13 + 67z 14 + 69z 15 +
+ 69z 16 + 67z 17 + 63z 18 + 57z 19 + 52z 20 + 45z 21 + 39z 22 + 31z 23 +
+ 24z 24 + 18z 25 + 13z 26 + 9z 27 + 6z 28 + 4z 29 + 2z 30 + z 31 .

И, в завершение, воспользовавшись тем, что

получаем следующее выражение для коэффициентов Č n при степенях z n в разложении функции Č (z ), в котором n = 10q + r и 0≤r <1 0:

Здесь фактически содержится 10 различных случаев, по одному на каждое значение r ; но это всё же неплохая замкнутая формула в сравнении с альтернативами, включающими степени комплексных чисел.

Используя это выражение, можем узнать, например, значение C 50q = Č 10q . Здесь r =0 , и мы имеем

для суммы в 1 доллар получается

а для миллиона долларов это число составит

Речь пойдёт о хорошо известной задаче: как подсчитать число счастливых билетов? Причём сделать это нужно по возможности не очень длинно, избегая слишком сложных вычислений. Тот способ, который я предлагаю, приводится под "катом".

Я не ставлю своей целью написать текст как можно короче. Наоборот: я исхожу из того, что лучше произнести какие-то дополнительные слова, лишь бы в итоге было понятно не только то, какой в задаче ответ, но и то, откуда он взялся. Тексты такого рода рекомендуется читать в "пошаговом" режиме, то есть просто улавливать и усваивать то, что написано. При этом желательно свой собственный "творческий" аппарат на время чтения отключить.

Итак всего, рассмотрим какой-нибудь счастливый билет abcdef. По определению, сумма первых трёх цифр равна сумме трёх последних, то есть a+b+c=d+e+f. Обозначим эту сумму через k и будем называть для краткости рангом счастливого билета. Например, 191731 -- это счастливый билет ранга 11.

Ясно, что ранг счастливого билета может принимать значения от 0 до 27 включительно. Поэтому общее число S счастливых билетов, которое мы хотим найти, будет представлять собой сумму S(0)+S(1)+S(2)+...+S(27), где через S(k) мы обозначили число счастливых билетов ранга k.

Таким образом, задача будет решена, если мы найдём 28 слагаемых нашей суммы. Это довольно много. Но заметим, что нам достаточно найти лишь половину этих значений, потому что остальные будут повторяться. А именно: если взять какой-то счастливый билет ранга k и заменить в нём каждую цифру на дополнительную до 9, то получится счастливый билет ранга 27-k. Например, билет 191731 ранга 11 превратится в билет 808268 ранга 16.

Отсюда следует, что S(k)=S(27-k), то есть набор слагаемых нашей суммы одинаково читается слева направо и справа налево. В середине будут стоять равные друг другу слагаемые S(13) и S(14). Поэтому мы приходим к такой формуле:

S = 2*(S(0)+S(1)+S(2)+...+S(13)),

то есть найти нужно всего 14 чисел. Это пока что всё равно много, но далее окажется, что способ нахождения первых 10 слагаемых очень простой, и все они находятся однотипно. А последние 4 мы найдём, зная предыдущие, применяя некоторую поправку.

Итак, пусть k есть ранг билета; как найти число S(k)? Выбирая один из таких билетов, мы сначала выбираем тройку цифр с суммой k. Сколькими способами это можно сделать? Пока мы этого не знаем, поэтому обозначим это число через T(k). Например, T(0)=1 -- для единственной тройки 000 с суммой 0, а T(1)=3 -- здесь имеются в точности три тройки: 001, 010, 100 с суммой 1.

Утверждается, что S(k)=T(k)*T(k)=T(k)^2. В самом деле, выписывая номер счастливого билета ранга k, мы можем сделать это в два этапа: выписать сначала первую тройку, а потом вторую. При поэтапном выборе число способов перемножается, что и приводит к выписанному выше равенству.

Итак, мы приходим к формуле

S = 2*(T(0)^2+T(1)^1+T(2)^2+...+T(13)^2),

то есть ответом в задаче будет удвоенная сумма квадратов 14 чисел, которые мы сейчас найдём.

Итак, что такое T(k)? Это число решений уравнения a+b+c=k в целых неотрицательных числах, но ещё с дополнительным ограничением, что a,b,c -- это цифры, то есть никакая из них не может превышать 9. Забудем сначала про имеющееся ограничение и подсчитаем просто число решений этого уравнения. Дело в том, что при k=0,1,...,9 у нас автоматически будет выполнено наше ограничение, и в итоге мы найдём 10 из 14 интересующих нас чисел.

Итак, сколько же решений имеет уравнение a+b+c=k? Прежде всего, введём для этого количества обозначение U(k). Понятно, что третья переменная c может принимать значения от 0 до k. Зафиксируем одно из таких значений; тогда a+b=k-c. Сколько решений имеет такое уравнение, уже от двух переменных?

Здесь ответ очевиден. Представим себе в правой части какое-то конкретное число, например, 8. Все решения уравнения a+b=8 могут быть явно выписаны: это (0,8), (1,7), (2,6), ..., (8,0). Посмотрим на первые числа в парах и увидим, что решений ровно 9, то есть на единицу больше того, что стояло в правой части уравнения. Этот принцип просто запомнить. Скажем, уравнение a+b=4 будет иметт 5 решений.

Вернёмся к уравнению a+b+c=k. Уже говорилось, что c принимает значения от 0 до k. Для удобства начнём с максимального из значений, равного k. При этом возникает уравнение a+b=0, имеющее одно решение. При c=k-1 получается a+b=1, и здесь решений уже два. Далее при c=k-1 имеем a+b=2 с тремя решениями, и так вплоть до последнего случая c=0, где приходим к уравнению a+b=k, имеющему k+1 решение. Окончательно мы получаем следующее:

число решений уравнения a+b+c=k в целых неотрицательных числах в точности равно U(k)=1+2+3+...+k+(k+1), то есть сумме первых k+1 чисел натурального ряда.

В данном случае можно воспользоваться известной формулой и "свернуть" формулу до U(k)=(k+1)*(k+2)/2, но здесь это не обязательно. Дело в том, что нам нужен список всех чисел вида T(k) при k=0,1,2,...,13. И, как говорилось выше, первые 10 чисел этого списка могут быть найдены по вышеприведённой формуле. Напомним, что при k=0,1,...,9 решениями уравнения автоматически будут тройки цифр, то есть то, что мы хотим подсчитать. А вот при k=10 и далее, уравнения будут иметь решения типа (10,0,0), которые нам не подходят.

Итак, вот список из 14 чисел вида U(k), где k=0,1,2,...,13:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 , 66, 78, 91, 105

который строится по такому принципу: начиная с 1, мы далее прибавляем последовательно 2, 3, ..., 13. Здесь первые 10 чисел выделены жирным шрифтом; их мы уже нашли верно. А для последних четырёх чисел мы сейчас сделаем поправку, удалив "лишнее".

Итак, рассмотрим число k от 10 до 13. Нас интересует число T(k), то есть число решений уравнения a+b+c=k в десятичных цифрах. Мы же нашли число решений, среди которых есть лишние. Это в точности те решения, где одна из цифр принимает значение 10 и более. Заметим, что такая цифра может быть в точности одна -- ведь в противном случае суммы всех цифр была бы как минимум 20, а у нас это не так. Сколько мы насчитали лишних решений, если значение a вышло за пределы, то есть стало равно 10+α? Подстановка в уравнение даёт α+b+c=k-10, то есть нами было учтено U(k-10) лишних решений, где a выходило за отведённые пределы. Но ровно столько же их было, когда за пределы вышло b, и столько же для c. Поэтому общее число лишних решений равно 3U(k-10), а итоговая формула для рассматриваемых значений k получается такая: T(k)=U(k)-3U(k-10) при k от 10 до 13.

Таким образом, берём 4 последних числа нашего списка: 66, 78, 91, 105 и вычитаем из них утроенные первые 4 числа списка, то есть утраиваем 1, 3, 6, 10, получая 3, 9, 18, 30 и производим вычитание, что приводит к числам 63, 69, 73, 75. Окончательно получаем список чисел T(k) при от 0 до 13:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 63, 69, 73, 75.

Каждое из этих чисел надо возвести в квадрат, потом всё сложить, а полученную сумму удвоить. Это и будет ответ. Здесь, к сожалению, приходится прибегать к подсчёту, но он не сложный. В итоге имеем:

S=2*(1+9+36+100+225+441+784+1296+2025+30 25+3969+4761+5329+5625)=2*27626=55252.

Итак, общее количество счастливых билетов в точности равно 55252. Забавно, что цифры тут получились только 5 и 2. Вероятно, это связано с тем, что данную задачу можно решить или на "пятёрку", или на "двойку"! :)

Если разделить миллион (общее количество номеров билетов) на найденное количество, то получится приблизительно 18. То есть в среднем примерно каждый 18-й билет является счастливым.

А, м. billet m.,> нем. Billett.1. Бумага с официальным распоряжением, приказом. Сл. 18. Кардинал и штатскии секретарь Леркари велел на сих днях господину Риццу.. билет вручить, в котором он ему объявляет, чтобы он без замедления дороги… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

На самолёт Туркменских Авиалиний Билет (фр. billet, от средневекового billetus записка, письмо, свидетельство; удостоверение … Википедия

Сущ., м., употр. часто Морфология: (нет) чего? билета, чему? билету, (вижу) что? билет, чем? билетом, о чём? о билете; мн. что? билеты; (нет) чего? билетов, чему? билетам, (вижу) что? билеты, чем? билетами, о чём? о билетах 1. Билет это документ… … Толковый словарь Дмитриева

Прил., употр. очень часто Морфология: счастлив и счастлив, счастлива и счастлива, счастливо и счастливо, счастливы и счастливы; счастливее; нар. счастливо, счастливо 1. Счастливым называют того, кто испытывает большую радость, счастье, потому что … Толковый словарь Дмитриева

Билет The Ticket Жанр драма Режиссёр … Википедия

It Could Happen To You Жанр комедия Режиссёр Эндрю Бергман В главных ролях Николас Кэйдж Бриджит Фонда … Википедия

БИЛЕТ, а, муж. 1. Документ, удостоверяющий право пользования чем н. разовый или на определённый срок. Железнодорожный б. Сезонный, месячный б. (для проезда на сезон, на месяц). Единый проездной б. (для проезда на разных видах городского… … Толковый словарь Ожегова

СЧАСТЛИВЫЙ, ая, ое; счастлив и счастлив. 1. Полный счастья, такой, к рому благоприятствует удача, успех; выражающий счастье. Счастливая жизнь. Счастливое детство. Если хочешь быть счастливым, будь им (шутл.). Счастлив, как дитя. Счастливое лицо.… … Толковый словарь Ожегова

счастливый - I см. счастливый; ого; м. II ая, ое; сча/стлив, а, о. см. тж. счастливый, счастливая, счастливые, счастливо, счастливо 1) чем, с инф., с придат. дополнит. Такой, который испы … Словарь многих выражений

А; м. [франц. billet] 1. Документ, удостоверяющий право пользования чем л., посещения чего л., участия в чём л. Трамвайный, троллейбусный, железнодорожный б. Месячный, проездной б. (такой документ многоразового пользования для проезда в… … Энциклопедический словарь

Книги

• Счастливый билет (комплект из 2 книг) , Елена Давыдова-Харвуд, Олга Бакушинская, Эдуард Шатов. Вашему вниманию предлагается комплект из двух книг серии СЧАСТЛИВЫЙ БИЛЕТ…
• Счастливый билет. На день рождения , Леон Малин. Сюжет рассказа прост. Приятель подарил главному герою на день рождения лотерейный билет. Тут же выяснилось, что билет выиграл 30 миллионов рублей. События начинаютразвиваться стремительно.…