Одним из наиболее частых математических действий, применяемых в инженерных и других вычислениях, является возведение числа во вторую степень, которую по-другому называют квадратной. Например, данным способом рассчитывается площадь объекта или фигуры. К сожалению, в программе Excel нет отдельного инструмента, который возводил бы заданное число именно в квадрат. Тем не менее, эту операцию можно выполнить, использовав те же инструменты, которые применяются для возведения в любую другую степень. Давайте выясним, как их следует использовать для вычисления квадрата от заданного числа.

Как известно, квадрат числа вычисляется его умножением на самого себя. Данные принципы, естественно, лежат в основе вычисления указанного показателя и в Excel. В этой программе возвести число в квадрат можно двумя способами: использовав знак возведения в степень для формул «^» и применив функцию СТЕПЕНЬ . Рассмотрим алгоритм применения данных вариантов на практике, чтобы оценить, какой из них лучше.

Способ 1: возведение с помощью формулы

Прежде всего, рассмотрим самый простой и часто используемый способ возведения во вторую степень в Excel, который предполагает использование формулы с символом «^» . При этом, в качестве объекта, который будет возведен в квадрат, можно использовать число или ссылку на ячейку, где данное числовое значение расположено.

Общий вид формулы для возведения в квадрат следующий:

В ней вместо «n» нужно подставить конкретное число, которое следует возвести в квадрат.

Посмотрим, как это работает на конкретных примерах. Для начала возведем в квадрат число, которое будет составной частью формулы.

Теперь давайте посмотрим, как возвести в квадрат значение, которое расположено в другой ячейке.

Способ 2: использование функции СТЕПЕНЬ

Также для возведения числа в квадрат можно использовать встроенную функцию Excel СТЕПЕНЬ . Данный оператор входит в категорию математических функций и его задачей является возведение определенного числового значения в указанную степень. Синтаксис у функции следующий:

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргумент «Число» может представлять собой конкретное число или ссылку на элемент листа, где оно расположено.

Аргумент «Степень» указывает на степень, в которую нужно возвести число. Так как перед нами поставлен вопрос возведения в квадрат, то в нашем случае данный аргумент будет равен 2 .

Теперь посмотрим на конкретном примере, как производится возведение в квадрат с помощью оператора СТЕПЕНЬ .

Также для решения поставленной задачи вместо числа в виде аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой оно расположено.

Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат . Даже первоклассник знает, что «дважды два - четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа лучше перемножать в столбик или на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.

Инструкция

Разложите любое двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц - 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.

Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.

Аналогично сделайте со вторым число м: 6 * 6 = 36

Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

Сложите результаты второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть результат возведения в квадрат числа 96. После некоторой тренировки сможете быстро делать шаги в уме, удивляя родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте результаты каждого шага, чтобы не запутаться.

Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

Запомните особый способ возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите количество десятков: в числе 75 их 7 штук.

Умножьте количество десятков на следующую цифру в число вом ряду: 7 * 8 = 56.

Припишите справа число 25: 5625 - результат возведения в квадрат числа 75.

Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, поэтому последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 - результат.

Научитесь возводить в квадрат отрицательные числа: -95 в квадрат е равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Аналогично -74 в квадрат е равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число : -95 * -95 = 9025. Поэтому при возведении в квадрат можете просто не обращать внимания на знак «минус».

Полезный совет

Чтобы тренировка не была скучной, позовите на помощь друга. Пусть он пишет двузначное число, а вы - итог возведения этого числа в квадрат. Затем меняйтесь местами.

Возведение в квадрат трехзначных чисел - впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 - это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ - 37 249.

Попробуем возвести в квадрат 706.

При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.

Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436.

Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 6 2 и 7 2 . Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 единиц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 314 2 .

В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.

Если вам нужно время для подсчета 14 2 , повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вычислить 14 2 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.

Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.

Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?

Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное - суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.

Вот еще более сложный пример: 863 2 .

Первая проблема - надо решить, какие числа перемножать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое - больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.

1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.

2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.

Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа имеют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна равняться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.

Затем проводим следующие вычисления.

Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведения в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих главах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоминать такие числа.

Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче - на возведении в квадрат числа 359.

Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!

Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычислим 987 2 .

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Что за дверью номер 1?

Математической банальностью 1991 года, которая поставила всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант - женщины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Книге рекордов Гиннесса) - в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.

Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сделки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими - козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой дверью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая - с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?

А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз окажется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.

Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего первого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с вероятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Конечно, все эти люди были неправы.

В книге «Магия чисел» рассказывается о десятках трюков, которые упрощают привычные математические операции. Оказалось, что умножение и деление в столбик - это прошлый век, а есть гораздо более эффективные способы деления в уме.

Вот 10 самых интересных и полезных трюков.

Умножение «3 на 1» в уме

Умножение трёхзначных чисел на однозначные - это очень простая операция. Всё, что нужно сделать, - это разбить большую задачу на несколько маленьких.

Пример : 320 × 7

1. Разбиваем число 320 на два более простых числа: 300 и 20.
2. Умножаем 300 на 7 и 20 на 7 по отдельности (2 100 и 140).
3. Складываем получившиеся числа (2 240).

Возведение в квадрат двузначных чисел

Возводить в квадрат двузначные числа не намного сложнее. Нужно разбить число на два и получить приближенный ответ.

Пример : 41^2

1. Вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42.
2. Умножаем два получившихся числа, воспользовавшись предыдущим советом (40 × 42 = 1 680).
3. Прибавляем квадрат числа, на величину которого мы уменьшали и увеличивали 41 (1 680 + 1^2 = 1 681).

Ключевое правило здесь - превратить искомое число в пару других чисел, которые перемножить гораздо проще. К примеру, для числа 41 это числа 42 и 40, для числа 77 - 84 и 70. То есть мы вычитаем и прибавляем одно и то же число.

Мгновенное возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

С квадратами чисел, оканчивающихся на 5, вообще не нужно напрягаться. Всё, что нужно сделать, - это умножить первую цифру на число, которое на единицу больше, и добавить в конец числа 25.

Пример : 75^2

Деление на однозначное число

Деление в уме - это достаточно полезный навык. Задумайтесь о том, как часто мы делим числа каждый день. К примеру, счёт в ресторане.

Пример : 675: 8

1. Найдём приближенные ответы, умножив 8 на удобные числа, которые дают крайние результаты (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наш ответ - 80 с хвостиком.
2. Вычтем 640 из 675. Получив число 35, нужно разделить его на 8 и получить 4 с остатком 3.
3. Наш финальный ответ - 84,3.

Мы получаем не максимально точный ответ (правильный ответ - 84,375), но согласитесь, что даже такого ответа будет более чем достаточно.

Простое получение 15%

Чтобы быстро узнать 15% от любого числа, нужно сначала посчитать 10% от него (перенеся запятую на один знак влево), затем поделить получившееся число на 2 и прибавить его к 10%.

Пример : 15% от 650

1. Находим 10% - 65.
2. Находим половину от 65 - это 32,5.
3. Прибавляем 32,5 к 65 и получаем 97,5.

Банальный трюк

Пожалуй, все мы натыкались на такой трюк:

Задумайте любое число. Умножьте его на 2. Прибавьте 12. Разделите сумму на 2. Вычтите из неё исходное число.

Вы получили 6, верно? Что бы вы ни загадали, вы всё равно получите 6. И вот почему:

1. 2x (удвоить число).
2. 2x + 12 (прибавить 12).
3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (разделить на 2).
4. x + 6 − x (вычесть исходное число).

Этот трюк построен на элементарных правилах алгебры. Поэтому, если вы когда-нибудь услышите, что кто-то его загадывает, натяните свою самую надменную усмешку, сделайте презрительный взгляд и расскажите всем разгадку. 🙂

Магия числа 1 089

Этот трюк существует не одно столетие.

Запишите любое трёхзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (к примеру, 765 или 974). Теперь запишите его в обратном порядке и вычтите его из исходного числа. К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.

Какое бы число вы ни выбрали, в результате получите 1 089.

Быстрые кубические корни

Как только вы запомните эти значения, находить кубический корень из любого числа будет элементарно просто.

Пример : кубический корень из 19 683

1. Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+.
2. Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба.
3. Так как последняя цифра в задаче - 3 (19 683), это соответствует 343 = 7^3. Следовательно, последняя цифра ответа - 7.
4. Ответ - 27.

Примечание: трюк работает только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.

Правило 70

Чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, нужно разделить число 70 на годовую процентную ставку.

Пример : число лет, необходимое для удвоения денег с годовой процентной ставкой 20%.

70: 20 = 3,5 года

Правило 110

Чтобы найти число лет, необходимых для утроения денег, нужно разделить число 110 на годовую процентную ставку.

Пример : число лет, необходимое для утроения денег с годовой процентной ставкой 12%.

110: 12 = 9 лет

Математика - волшебная наука. Если даже такие простые трюки удивляют, то какие ещё фокусы можно придумать?

Красота чисел. Как быстро вычислять в уме

• Научно-популярное

Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман! » поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (50 2 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов - около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней - самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 - это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 - это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт » 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 85 2 = 7225

(10Х + 5) 2 = 100Х 2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320