Основные теоремы о пределах.

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

lim (u 1 + u 2 + … + u n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0 .

3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b , то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом . (2.1)

Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид:
(2.2)

Число е – иррациональное (также как и число p ) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828… ; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log e x . Функцию у = е х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х ). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:

Непрерывность функций. Функцию у = f(х) а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х 0 получит приращение Dх и примет значение х = х 0 + Dх . В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0) .

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х 0 , если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(2.3) или (2.3`)

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде
или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .

Пример:

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b) , где a < b , то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b 1 , b 2 и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода . Эти точки подразделяются на точки скачка , когда b 1 ¹ b 2 (скачок равен b 2 - b 1 ) и точки устранимого разрыва, когда b 1 = b 2 . Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода . В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х 1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 1) ³ f(x) , где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х 2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 2) ≤ f(x) .

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b !)

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m , заключенное между числами А и В , найдется такая точка х = с , заключенная между a и b , что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Доказательство . Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть.Тогда f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) , где б и в - бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (б(x) + в(x)) .

Так как b + c есть постоянная величина, а б(x) + в(x) - функция бесконечно малая, то

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Доказательство . Пусть. Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) и

fg = (b + б)(c + в) = bc + (bв + cб + бв).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bв + c б + бв на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

Пример. .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Доказательство . Пусть. Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) , где б, в - бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ?0.

3. Рассмотрим. При x>1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как, т.е. есть бесконечно малая функция при x> 1, то.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)?f(x)? v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x>a (или x>? ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 - М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x>a (или x>? ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y?0 и при этом стремится к пределу b , то этот предел не может быть отрицательным: b?0 .

Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y - b|?|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x>a . Но тогда y не стремится к пределу b при x>a , что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)? g(x) и имеют пределы, то имеет место неравенство b?c .

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ?0 , следовательно, по теореме 5 , или.

Теорема 1 . Если f (x ) = b , то f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® a .

Доказательство. Пусть f (x ) = b . Рассмотрим функцию a (x ) = f (x ) – b и покажем, что a (x ) – б.м. при x ® +¥ .

Из определения f (x ) = b имеем, что "e > 0 $x 0 "x > x 0 |f (x ) – b | < e , но так как a (x ) = f (x ) – b , то "e > 0 $x 0 "x > x 0 |a (x )| < e , а это означает, что a (x ) – б.м. при
x ® +¥.

Итак, из равенства a (x ) = f (x ) – b имеем f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® +¥.

Теорема 2. Если функцию f (x ) можно представить в виде: f (x ) = b + a (x ), где
b – число, a (x ) – б.м. функция при x ® a , то f (x ) = b .

Доказательство. Пусть f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® +¥, т.е.

"e > 0 $x 0 "x > x 0 |a (x )| < e . (*)

Но a (x ) = f (x ) – b , поэтому (*) можно записать так: "e > 0 $x 0 "x > x 0 |f (x ) – b | < e , что означает: f (x ) = b .

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3 . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

f 1 (x ) = b 1 , f 2 (x ) = b 2 , то (f 1 (x ) + f 2 (x )) = b 1 + b 2 , (f 1 (x ) – f 2 (x )) = b 1 – b 2 .

Доказательство. На основании теоремы 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда

f 1 (x ) + f 2 (x ) = (b 1 + a 1 (x )) + (b 2 + a 2 (x )) = (b 1 + b 2) + (a 1 (x ) + a 2 (x )).

Но a 1 (x ) + a 2 (x ) – б.м. функция при x ® a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f 1 (x ) + f 2 (x ) = (b 1 + b 2) + (a 1 (x ) + a 2 (x )) по теореме 2 следует, что

(f 1 (x ) + f 2 (x )) = b 1 + b 2.

Аналогично проводится доказательство для разности.

Теорема 4 . Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f 1 (x ) = b 1 , f 2 (x ) = b 2 , то (f 1 (x ) f 2 (x )) = b 1 × b 2 .

Доказательство. По теореме 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда f 1 (x )× f 2 (x ) = b 1 × b 2 + b 1 ×a 2 (x ) + b 2 ×a 1 (x ) + a 1 (x )× a 2 (x ).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b 1 ×a 2 (x ), b 2 ×a 1 (x ), a 1 (x )×a 2 (x ) – б.м. при x ® a и a (x ) = b 1 ×a 2 (x ) + b 2 ×a 1 (x ) + a 1 (x )×a 2 (x ) – бесконечно малая функция при x ® a . Из равенства f 1 (x ) f 2 (x ) = b 1 b 2 + a (x ) по теореме 2 следует, что
(f 1 (x )f 2 (x )) = b 1 b 2 .

Следствие 1 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(С ×f (x )) = С f (x ), где С – постоянное число.

Доказательство. С f (x ) = С f (x ) = С f (x ), так как С = С.

Следствие 2 . Если n – натуральное число, то [(f (x )) n ] = (f (x )) n .

Теорема 5 . Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f 1 (x ) = b 1 ,
f 2 (x ) = b 2 и b 2 ¹ 0, то .

Доказательство. По теореме 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда

Обозначим последнюю дробь a (x ) = , тогда + a (x ). Остается показать, что a (x ) – б.м. при x ® a . Действительно, числитель дроби
b 2 a 1 (x ) – b 1 a 2 (x ) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
(b 2 2 + b 2 a 2 (x )) = b 2 2 ¹ 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому – функция,ограниченная при x ® a (по теореме 3 разд. 1.6). Значит, a (x ) – б.м. при x ® a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример . Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3 x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x ) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6 . Если f (x ) существует и f (x ) ³ 0 для всех x из области определения функции, то f (x ) ³ 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f (x ) = b < 0. Зафиксируем e = –, e > 0. По определению предела по e найдется x 0 , такое, что "x > x 0 |f (x ) – b | < e , отсюда b – e < f (x ) < b + e . Но e = –, поэтому "x > x 0 f (x ) < b – , f (x ) < , т.е. f (x ) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана .

Теорема 7 . Если "x (f 1 (x ) ³ f 2 (x )) и f 1 (x ), f 2 (x ) существуют, то
f 1 (x ) ³ f 2 (x ).

Доказательство. Рассмотрим функцию F (x ) = f 1 (x ) – f 2 (x ), тогда "x (F (x ) ³ 0) иF (x ) существует. По теореме 6: F (x ) ³ 0, (f 1 (x ) – f 2 (x )) ³ 0, отсюда
f 1 (x ) ³ f 2 (x ). Теорема доказана .

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 212. Основные теоремы о пределах функций

Прежде всего заметим, что не для всякой функции у = f (х ) существует предел f (х ). Так, например, при x -> π / 2 значения функции у = tg х (рис. 303) или неограниченно растут (при х < π / 2), или неограниченно убывают (при х > π / 2).

Поэтому нельзя указать никакого числа b , к которому стремились бы значения этой функции.

Другой пример. Пусть

График этой функции представлен на рисунке 304.

Когда значений аргумента х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, соответствующие значения функции стремятся к 1. Когда значения аргумента х приближаются к 0, оставаясь положительными, соответствующие значения функции стремятся к -2. В самой же точке х = 0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к которому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэтому данная функция не имеет предела при х -> 0.

Говоря в дальнейшем о пределе функции, мы всегда будем предполагать, что этот предел существует.

Предположение о существовании предела f (х ) еще не означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х ) в точке х = а . Для примера рассмотрим функцию, график которой представлен на рисунке 305.

Очевидно, что предел f (х ) существует и равен 1. Но в самой точке х = 0 функция принимает значение, равное 2. Поэтому в данном случае

f (х ) =/= f (0).

Если функция у = f (х ) удовлетвoряет условию

f (х ) = f (a ),

то она называется непрерывной в точке х = а . Если же указанное условие не выполняется, то функция f (х ) называется разрывной в точке х = а ."

Все элементарные функции (например, у = х п , у = sin х , у = tg х , у = tg 2 х + tg х и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Функция у = f (х ) называется непрерывной в интервале [а, b ], если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Например, функция у = tg x непрерывна в интервале[- π / 4 , π / 4 ], функции у = sin x и y = cos x непрерывны в любом интервале и т. д.

Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.

1. Предел константы равен самой этой константе:

с = с .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k f (х )] = k f (х ).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х ) ± g (х )] = f (х ) ± g (x ).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х ) g (х )] = f (х ) g (x ).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.

Пример 1. Найти

При х -> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:

(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х ), то обычно предполагаем, что функция f (х ) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а . Однако функция определена лишь для положительных значений х . Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х -> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)

Основные теоремы о пределах .

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x) => .

Теорема (о предельном переходе в неравенствах) . Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство: .

Теорема . Предел постоянной равен самой постоянной: .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при . Вычитая эти равенства, получим:

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲

Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема (об арифметике) . Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

Если , то существует конечный предел частного:

Док-во. Докажем, например, второе равенство.

Пусть существуют конечные пределы и . Докажем, что существует конечный предел .

Итак, мы должны доказать, что:

Возьмем произвольное . Найдем из условия , т.е. для этого : .

Найдем из условия , т.е. для этого :

Т.к. для по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. (по теореме о локальной ограниченности), т.е. - некоторой константы.

Положим . Проверим, что это - искомое. Действительно,

Теорема (о промежуточной функции) . Пусть для функций и существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:

. Тогда для тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций и .

Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции) . Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т. и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.

Вычисление пределов функций .

Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.

Пример. .

Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.

, . Теорему применять нельзя, хотя

В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).

К неопределенностям относят следующие ситуации:

Замечательные пределы .

Теорема 1 (первый замечательный предел) . Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Док-во. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть сначала . Из рисунка видно, что.

;

;

Таким образом,

Разделив обе части этого выражения на

>0, получим:

или .

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим: .

По теореме о промежуточной функции .

При полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲

Следствия. ; ; .

Теорема 2 (второй замечательный предел) . Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу е:

, ()

Следствия. ; .

К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.

Задача о непрерывном начислении процентов .

1. Простые проценты . В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %. Каков будет размер вклада Q через t лет?

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Через год сумма составит ,

Через два года: ;

Через t лет:

- формула простых процентов.

2. Сложные проценты . При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:

- формула сложных процентов.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.