Какие из следующих сумм делятся на 7. Основные признаки делимости

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

В таблице простых чисел, то есть таких, которые делятся только на 1 и на себя, числа 7, 11 и 13 расположены рядом (см. таблицу простых чисел на стр. 363). Их произведение равно:

7 ∙ 11 ∙ 13=1001 = 1000 + 1.

Заметим пока, что 1000 + 1 делится и на 7, и на 11, и на 13. Далее, если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза.

Пусть
- какое-либо трехзначное число (а, Ь и с - цифры этого числа). Умножим его на 1001:

Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число 999 999, или, иначе, 1000 000-1.

Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11,

или на 13 к делимости на них некоторого другого числа - не более чем трехзначного.

Требуется, положим, определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Представим теперь данное число в гаком виде:

42 623 295 = 295 + 628 ∙ 1000 + 42 ∙ 1 000 000,

или (аналогично тому, как это мы делали при рассмотрении признака делимости на 11):

42 623 295 = 295 + 623 (1000 + 1 -1) + 42(1000000 - 1 + 1) = (295 - 623 + 42) + .

Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа на

7, 11 и 13 полностью определяется делимостью числа, заключенного в первой круглой скобке.

Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно высказать следующий объединенный признак делимости сразу на три числа, 7, 11 и 13:

Вели разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.

Вернемся к числу 42 623 295. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:

(295 + 42)-623 = -286.

Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.

Очевидно, что делимость на 7, 11 и 13 четырех-, пяти — и шестизначных чисел, то есть чисел, разбивающихся всего лишь на 2 грани (практически более частый случай), определяется делимостью на 7, 11 и 13 разности граней данного числа. Так, например, легко установить, что 29 575 делится на 7 и на 13, но не делится на 11. Действительно, разность граней равна

а число 546 делится на 7 и на 13 и не делится на 11.

Задача. Устанавливая объединенный признак делимости на 7, 11 и 13, мы оперировали числом, разбивавшимся на 3 грани. Проведите обоснование этого признака на примере числа, разбивающегося на 4 грани по 3 цифры справа налево.

Комметирование закрыто now!

Добрый день!
Сегодня мы продолжим рассматривать признаки делимости.
И начнём мы вот с чего:
Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.

Пример: 298109.
1-й шаг. Берём 9, умножаем её на 2 и производим вычитание:
29810-18=29792.
2-й шаг. 29792. Берём 2, умножаем её на 2 и производим вычитание:
2979-4 = 2975.
3-й шаг. 2975. Берём 5, умножаем на 2 и производим вычитание: 297-10=287.
4-й шаг. 287. Берём 7, умножаем на 2 и производим вычитание 28-14=14. Делится на 7.
Значит всё число 298109 делится на 7.

Ещё пример. Число 1102283.
1-й шаг. 110228-3*2 = 110222
2-й шаг. 11022-2*2 = 11018.
3-й шаг. 1101-8*2 = 1085.
4-й шаг. 108-5*2 = 98.
5-й шаг. 9-8*2 = -7. Делится на 7. Значит, 1102283 делится на 7.

Признак делимости на 13. Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.
Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
Пример: Число 595166.
1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 595166 делится нацело на 13.

Ещё пример. Число 10221224.
1-й шаг. 1022122 + 4*4 = 1022138
2-й шаг. 102213 + 8*4 = 102245
3-й шаг. 10224 + 5*4 = 10244
4-й шаг. 1024 + 4*4 = 1040
5-й шаг. 104 + 0*4 = 104
6-й шаг. 10 + 4*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 10221224 делится нацело на 13.

Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные.

Признак делимости на 11. Возьмём число и сложим все цифры, которые стоят на нечётных местах. Затем сложим все цифры числа, которые стоят на чётных местах.
Если разность между первой суммой и второй кратна 11, то всё число делится на 11.
При этом разность может быть как положительна, так и отрицательна.
Примеры: 160369 (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах
1+0+6 = 7. Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).
Ещё пример: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
Число 7527927 делится на 11).

Признак делимости на 15. Число 15 — составное. Его можно представить в виде произведения простых множителей, а именно 5 и 3.
А мы уже знаем Значит, число делится на 15, если
1. — оно заканчивается на 0 или 5;

Пример: 36840 (Число оканчивается на 0; сумма цифр его равна 3+6+8+4 = 21. Делится на 3.) Значит, все число делится на 15.
Ещё пример: 113445 Число оканчивается на 5; сумма цифр его равна 1+1+3+4+4+5 = 18. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 15.

Признак делимости на 12. Число 12 — составное. Его можно представить в виде произведения следующих множителей: 4 и 3.
Значит, число делится на 12, если
1. — 2 последние цифры его делятся на 4;
2. — сумма цифр его делится на 3.
Примеры: 78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Ещё пример: 943908 (Две последние цифры — 08. Число, составленное из этих цифр, делится на 4; сумма цифр равна 9+4+3+9+0+8 = 33.
Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел :

• Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
  Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
• Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
  Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
• Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
  Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
• Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
  Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
• Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
  Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
• Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
  Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
• Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
  Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
• Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
  Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
• Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
  Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
• Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
  Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.