Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними. Основные операции над матрицами

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы .

Сложение и вычитание матриц.

Суммой $A+B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью $A-B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть

Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц - операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)\;\; B=\left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right); \;\; F=\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ -5 & 4 \end{array} \right). $$

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами - размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$ C=A+B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)+ \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right) $$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)- \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right) $$

Ответ : $C=\left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right)$, $D=\left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на число $\alpha$ называется матрица $B_{m\times n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число - означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: $ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right). $$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right) $$

Ответ : $3\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right);\; -5\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right);\; -A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$: $$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными ). Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы: $ A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)$ и $ B=\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin{array} {cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" , в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$ c_{11}=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$ c_{12}=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

$$ c_{21}=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_{22}=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$ c_{31}=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_{32}=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right). $$

Ответ : $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Транспонированной по отношению к матрице $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка - станет первый столбец; была вторая строка - станет второй столбец; была третья строка - станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3\times 5}$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ - некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ - матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, где $E$ - единичная матрица соответствующего порядка.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, где $O$ - нулевая матрица соответствующего размера.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=\left[ m\times n \right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 5 \right]$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=\left[ 2\times 5 \right]$ и $A=\left[ 3\times 2 \right]$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left[ n\times n \right]$ согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $\left(1;0 \right)$ и $\left(0;1 \right)$ задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $\left(A;B \right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$. И определим для них операцию умножения.

Определение. Произведение двух согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой считаются по формуле:

\[\begin{align} & {{c}_{i;j}}={{a}_{i;1}}\cdot {{b}_{1;j}}+{{a}_{i;2}}\cdot {{b}_{2;j}}+\ldots +{{a}_{i;n}}\cdot {{b}_{n;j}}= \\ & =\sum\limits_{t=1}^{n}{{{a}_{i;t}}\cdot {{b}_{t;j}}} \end{align}\]

Обозначается такое произведение стандартно: $C=A\cdot B$.

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

1. Что это за лютая дичь?
2. А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта ${{c}_{i;j}}$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

1. Берём $i$-ю строку в первой матрице;
2. Берём $j$-й столбец во второй матрице;
3. Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Ещё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем ${{c}_{ij}}$. И так для всех $1\le i\le m$ и $1\le j\le k$. Т.е. всего будет $m\times k$ таких «извращений».

На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:

\[\begin{align} & \vec{a}=\left({{x}_{a}};{{y}_{a}};{{z}_{a}} \right); \\ & \overrightarrow{b}=\left({{x}_{b}};{{y}_{b}};{{z}_{b}} \right). \\ \end{align}\]

Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:

\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}={{x}_{a}}\cdot {{x}_{b}}+{{y}_{a}}\cdot {{y}_{b}}+{{z}_{a}}\cdot {{z}_{b}}\]

По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку $\overrightarrow{a}$ на вектор-столбец $\overrightarrow{b}$.

Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]. \end{align}\]

Вот и всё!

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]$.

Задача 2. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}}9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:\[\]

\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 9+3\cdot \left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\cdot \left(-2 \right) \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]. \end{align}\]

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]$.

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

1. Некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство $A\cdot B=B\cdot A$ (например, если $B=E$ — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
2. Ассоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
3. Дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ и $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно .

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]\]

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{matrix} -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end{matrix} \right]\]

Получается, что $A\cdot B\ne B\cdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $\left[ 2\times 3 \right]$ и $\left[ 3\times 5 \right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $\left[ 3\times 5 \right]$ и $\left[ 2\times 3 \right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Множество всех таких матриц обозначается ${{M}^{n}}$ (т.е. записи $A=\left[ n\times n \right]$ и \ означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.

Определение. Единичная матрица размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ выполняется равенство:

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

\[\begin{align} & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end{align}\]

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]\]

Решение. Имеем две матрицы: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2\cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1\cdot 4 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \\\end{array} \right]. \end{align}\]

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} \begin{array}{*{35}{r}} 2 \\ 11 \\ -3 \\\end{array} & \begin{matrix} 41 \\ 30 \\ 19 \\\end{matrix} \\\end{array} \right]$.

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

\\]; $B=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]$; $C=\left[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right]$.

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:

\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]\]

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $B\cdot A$, поскольку $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, поэтому упорядоченная пара $\left(B;A \right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Короче говоря, на выходе будет матрица $\left[ 4\times 4 \right]$, коэффициенты которой легко считаются:

\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]\]

Очевидно, можно согласовать ещё $C\cdot A$ и $B\cdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

Это было легко.:)

Ответ: $AB=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]$; $BA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]$; $CA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end{array} \right]$; $BC=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end{array} \right]$.

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. Вектор-столбец — это матрица размера $\left[ m\times 1 \right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

Вектор-строка — это матрица размера $\left[ 1\times n \right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z \right)$ — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.

Задача 5. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Найдём это произведение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]\]

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]$.

Задача 6. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять всё согласовано: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Считаем произведение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}5 & -19 & 5 \\\end{array} \right]\]

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 5 & -19 & 5 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

\[\begin{align} & A\cdot A={{A}^{2}}; \\ & A\cdot A\cdot A={{A}^{3}}; \\ & \underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n}={{A}^{n}}. \\ \end{align}\]

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

${{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}$

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Вот и всё.:)

Ответ: $\left[ \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}\]

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \end{align}\]

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{n}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & n \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left[ 3\times 3 \right]$.

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\]

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}\cdot \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\]

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Теперь возведём в куб:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.

Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.
Общий вид матрицы

Основные элементы матрицы:
Главная диагональ . Её составляют элементы а 11 ,а 22 …..а mn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица - матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица - матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 . то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц .

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов

Где С 11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.

Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы - это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А -1 = A * T x (1/|A|)
Где A * T - Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы , пишите смело в комментариях.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая изэлементов, расположенных вm строках и n столбцах.

Элементы матрицы (первый индексi − номер строки, второй индекс j − номер столбца) могут быть числами, функциями и т. п. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Матрица называется квадратной , если у нее число строк равно числу столбцов (m = n ). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n -го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуютглавную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющие сумму индексов, равнуюn +1) − побочную диагональ .

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е .

Нулевая матрица − это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера.

К числу линейных операций над матрицами относятся:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С , все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В :

.

Произведением матрицы А на число k называется матрица В , все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А , умноженным на число k :

Операция умножения матриц вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрицаС размерности , элементi -ой строки и j -го столбца которой равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В :

Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае А В В А .

1.2. Определители. Свойства определителей

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

Первое из слагаемых со знаком «+» представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы (). Остальные два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали (и). Со знаком «-» входят произведения элементов побочной диагонали () и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали (и).

Это правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников (или правилом Саррюса).

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей 3-го порядка.

1. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы определителя равноправны

.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.

3. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен 0.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен 0.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом − вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,

.

8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.