Применимость алгоритма решения квадратного уравнения. Урок "алгоритм решения квадратных уравнений"

Решение любой математической задачи предполагает знание точного предписания, определяющего, как от исходных данных перейти к искомому результату. Такое предписание называется алгоритмом решения.

В этом видеоуроке рассмотрен алгоритм решения квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0.

1. Поскольку число корней квадратного уравнения, а значит его решений, зависит от дискриминанта, то сначала целесообразно определить этот дискриминант. Возможно, что уравнение и вовсе не придется решать.

Итак, вычисляем дискриминант D по формуле D = b 2 - 4ac. Далее следуем пунктам.

2. Если D<0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые определяются по формулам x 1 = ((- b + √D) / (2a)), x 2 = ((- b - √D) / (2a)).

Этот алгоритм универсален, потому что с его помощью можно решать уравнения полные, и так называемые неполные квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение - это уравнение ax 2 + bx + c = 0, где b не равно 0 и с не равно 0.

Если в уравнении b=0 или с=0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным.

Рассмотрим решение некоторых уравнений. Например, x 2 + 3x - 5 = 0. В видеоуроке показано, как применяется алгоритм решения. Дискриминант данного уравнения D=29, то есть D>0, значит, уравнение имеет два корня, которые мы и находим по формулам

x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a). В результате получаем ответ x 1 = (- 3 + √29)/2 , x 2 = (- 3 - √29)/2.

Некоторые уравнения нужно сначала преобразовать, а затем решать. Примеры решения таких уравнений показаны в видеоуроке.

Рассмотрим уравнение -9x 2 + 6x - 1 = 0. Умножая обе части этого уравнения на -1, получим 9x 2 - 6x + 1 = 0. Дискриминант данного уравнения D=0. Значит, согласно алгоритму, квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

X = - (b/2a). Этот корень x = 1/3.

Данное уравнение можно решить иначе. Как? Смотрите видеоурок.

Следующее уравнение 2x 2 - x + 3,5 = 0. Определяем дискриминант этого уравнения. Оказывается, что D= -27, то есть D<0, а это значит, что данное квадратное уравнение не имеет корней.

При решении уравнений для простоты записи можно сразу применить общую формулу корней x 1,2 = (-b +- √D)/2a. Если окажется, что D = b 2 - 4ac < 0, то корней нет.

Если D = b 2 - 4ac = 0, то x 1,2 = (-b +- √0)/2a = -(b/2a) . Говорят, также, что уравнение имеет два равных корня, или корень кратности два.

Если же D = b 2 - 4ac > 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляют по формулам x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a). Таким образом, квадратное уравнение можно решать подробно, как это показано в видеоуроке, либо сразу записать общую формулу, и с ее помощью делать необходимые вычисления.

Рассмотрим пример 2/3x 2 + 5/6x 2 - 7/12 = 0. Мы видим, что коэффициенты и свободный член уравнения представляют собой дроби, с которыми неудобно работать. Как преобразовать и решить это и подобные уравнения, узнаем из видеоурока. Оттуда же поймем, когда удобнее пользоваться развернутым алгоритмом, а когда общей формулой.

Рассмотрим уравнение x 2 - (2p + 1)x+ (p 2 + p -2) = 0. Отличие этого уравнения состоит в том, что коэффициенты его являются буквенными выражениями. Говорят, что это уравнение с буквенными коэффициентами или с параметрами. Решение уравнений с параметрами требует особых навыков. В видеоуроке подробно и доступно показано решение таких уравнений и учет значений параметра при этом.

1.Найти дискриминант D по формуле D= -4ac .

2.Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3.Если D=0, то уравнение имеет один корень:

4.Если D>0, то уравнение имеет два корня:

Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 -10х+3=0,

где =3, b=-10 а с=3.

Находим дискриминант:

D= -4*3*3=64

Поскольку D>0, то у данного уравнения два корня. Находим их:

; .

Таким образом, корнями многочлена f(x)=3 -10+3 будут являться числа 3 и .

Схема Горнера

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) - алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы полиномов (одночленов), при заданном значении переменной. Она, в свою очередь, и помогает нам выяснить, является ли число корнем данного многочлена или нет.

Для начала рассмотрим как делится многочлен f(x )на двучлен g(x) .

Это можно записать следующим образом: f(x):g(x)=n(x), где f(x)- делимое, g(x)- делитель а n(x)- частное.

Но в случае, когда f(x) не делится нацело на g(x) имеет место общая запись выражения

При это степень r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Рассмотрим деление многочлена на двучлен. Пусть

,

Получаем

Где r- число т.к. степень r должна быть меньше степени (x-c).

Умножим s(x) на и получим

Таким образом, при делении на двучлен можно определять коэффициенты частного по полученным формулам. Подобный способ определения коэффициентов и называется схемой Горнера.

Теперь рассмотрим несколько примеров применения схемы Горнера.

Пример . Выполнить деление многочлена f(x)= на x+3.

Решение. В начале необходимо записать (x+3) в виде (x- (-3)), поскольку в самой схеме будет участвовать именно -3.В верхней строке мы будем записывать коэффициенты, в нижней- результат действий.

f(x )=(x-2)(1 )+16.

Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней

По схеме Горнера можно находить целочисленные корни многочлена f(x ). Рассмотрим это на примере.

Пример . Найти все целочисленные корни многочлена f(x )= , при помощи схемы Горнера.

Решение. Коэффициенты данного многочлена- целые числа. Коэффициент перед старшей степенью(в нашем случае перед ) равен одному. Поэтому, целочисленные корни многочлена мы будем искать среди делителей свободного члена (у нас это 15), это числа:

Начнем проверку с числа 1.

Таблица №1

Из полученной таблицы видно, что при =1 многочлен многочлена f(x )= , мы получили остаток r=192, а не 0, из этого следует, что единица не является корнем. Поэтому продолжим проверку при =-1. Для этого мы не будем создавать новую таблицу, а продолжим в старой, а уже не нужные данные зачеркнем.

Таблица №2

Как мы видим из таблицы, в последней ячейке получился нуль, а это значит, что r=0. Следовательно? число -1 является корнем данного многочлена. Поделив наш многочлен многочлена f(x )= на ()=x+1 мы получили многочлен

f(x )=(x+1)(),

коэффициенты для которого мы взяли из третей стоки таблицы № 2.

Также мы можем сделать равносильную запись

(x+1)(). Пометим его (1)

Теперь необходимо продолжить поиск целочисленных корней, но только сейчас мы уже будем искать корни многочлена . Искать эти корни мы будем среди свободного члена многочлена, числа 45.

Еще раз проверим число -1.

Таблица №3

Таким образом, число -1 является корнем многочлена , его можно записать в виде

С учетом равенства (2) мы можем записать равенство (1) в следующем виде

Теперь ищем корни для многочлена , опять же среди делителей свободного члена. Вновь проверим число -1.

Таблица №4

По таблице мы видим, что число -1 является корнем многочлена .

С учетом (3*) мы можем переписать равенство (2*) как:

Теперь будем искать корень для . Вновь смотрим делители свободного члена. Начнем проверку вновь с числа -1.

Таблица №5

У нас получился остаток не равный нулю, а это значит, что число -1 не является корнем для многочлена . Проверим следующее число 1.

Таблица №6

И мы видим, что опять не подходит, остаток r(x)= 24.Берем новое число.

Проверим число 3.

Таблица №7

r(x)= 0, это значит, что число 3 является корнем многочлена , этот многочлен мы можем записать как:

=(x-3)()

Учитывая получившееся выражение, мы можем записать равенство (5) в следующем виде:

(x-3)() (6)

Проверим теперь для многочлена

Таблица №8

Исходя из таблицы, мы видим, что число 3 это корень многочлена . Теперь запишем следующее:

Запишем равенство (5*), с учетом получившегося выражения, следующим образом:

(x-3)()= = .

Найдем корень для двучлена среди делителей свободного члена.

Возьмем число 5

Таблица №9

r(x)=0, следовательно, 5 является корнем двучлена .

Таким образом, мы можем записать

Решением данного примера будет являться таблица№8.

Как видно из таблицы, числа -1;3;5 – корни многочлена.

Теперь перейдем непосредственно к видам корней .

1- корень третьей степени, поскольку скобка (x+1) находится в третьей степени;

3- корень второй степени, скобка(x-3) во второй степени;

5- корень первой степени или, другими словами, простой.

Слайд 2

Квадратные уравненияцикл уроков алгебры в 8 классепо учебнику А.Г. Мордковича

Учитель МБОУ Грушевской ООШ Киреева Т.А.

Слайд 3

Цели: ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать умение решать квадратные уравнения; показать способ решения полных квадратных уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения.

Слайд 4

Слайд 5

Немного из истории Квадратные уравнения в ДревнемВавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.

Слайд 6

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Слайд 7

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида где коэффициенты а, в, с – любые действительные числа, причем Многочлен называют квадратным трехчленом. а – первый, или старший коэффициент в – второй коэффициент с – свободный член

Слайд 8

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример. 2 - 5 + 3 = 0 - неприведенное квадратное уравнение - приведенное квадратное уравнение

Слайд 9

Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых. а + вх + с = 0 Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов в, с равен нулю.

Слайд 10

Способы решения неполных квадратных уравнений.

Слайд 11

Решить задания № 24.16 (a,б) Решите уравнение: или Ответ. или Ответ.

Слайд 12

Определение 4 Корнем квадратного уравнения Называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен Обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Слайд 13

Дискриминант квадратного уравнения D 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения

Слайд 14

D>0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3

Слайд 15

Алгоритм решения квадратного уравнения 1. Вычислить дискриминант D по формуле D= 2. Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня.

Библиографическое описание: Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..04.2019).



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение - уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c - некоторые числа (a ≠ 0 ), x - неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

• a называется первым коэффициентом;
• b называется вторым коэффициентом;
• c - свободным членом.

А кто же первый "изобрёл" квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

1. Разложение левой части уравнения на множители.
2. Метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
4. Графическое решение квадратного уравнения.
5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x 1 =2, x 2 =3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример. 3x 2 +2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решение уравнений способом "переброски".

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. 2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 - 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 =2,5 ;у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = - 1.

Пример. 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Ответ: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример. 132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Ответ: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример. х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: "Квадрат и десять корней равны 39".

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х 2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х 1 =2, х 2 =3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
2. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964.