Чему равна сторона вписанного многоугольника. Свойства правильных многоугольников

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными углами.

а - сторона восьмиугольника,

R - радиус описанной окружности,

r - радиус вписанной окружности.

Сумма внутренних углов правильного n-угольника

180(n-2) .

Градусная мера внутреннего угла n-угольника

180(n-2) : n.

Сторона правильного n-ка

Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности

Площадь правильного n-ка

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Сумма внутренних углов шестиугольника равна:
1) 360 ° ; 2) 180 ° ; 3) 720 ° ; 4) 540 ° .
б) Сумма внутренних углов восьмиугольника равна:
1) 360 ° ; 2) 180 ° ; 3) 720 ° ; 4) 1080 ° .
Решение:
а) По формуле сумма углов шестиугольника равна: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Ответ: 720 ° .

2. а) Сторона правильного многоугольника равна 5 см, внутренний угол равен 144 °
а) Сторона правильного многоугольника равна 7 см, внутренний угол равен 150 ° . Найдите периметр многоугольника.
Решение:
а) 1) Найдем количество сторон многоугольника:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Найдем периметр десятиугольника: Р=5*10=50 см.
Ответ: 50 см.

3. а) Периметр правильного пятиугольника равен 30 см. Найдите диаметр окружности, описанной вокруг пятиугольника.
б) Диаметр окружности равен 10 см. Найдите периметр вписанного в нее пятиугольника.
Решение:
а) 1) Найдем сторону пятиугольника: 30:5=6 см.
2) Найдем радиус описанной окружности:
a=2R*sin(180 ° :n);
6=2R*sin (180 ° :5);
R=3:sin 36 ° =3:0,588=5,1 см
Ответ: 5,1 см.

4. а) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 2520 °
б) Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 1800 ° . Найдите количество сторон многоугольника.
Решение:
а) Найдем количество сторон многоугольника:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n=16.
Ответ: 16 сторон.

5. а) Радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника равен 5 см. Найдите площадь многоугольника.
б) Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника равен 6 см. Найдите площадь многоугольника.
Решение:
а) Найдем площадь двенадцатиугольника:
S=0.5* R 2 *n*sin(360 ° :n)=0,5*25*12*sin30 ° =75 см 2 .
Ответ: 75 см 2 .

6. Найдите площадь шестиугольника, если известна площадь закрашенной части:

Решение:
а) 1) Найдем длину стороны АВ шестиугольника. Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС).
∠АВС=180 ° (6-2):6=120 ° .

Площадь треугольника АВС равна 0,5*АВ*ВС*sin120 ° и равна по условию 48.

2) В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, следовательно R=AB.
3) Найдем площадь шестиугольника:
Ответ: 288 см 2 .

7. а) Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол при вершине равен 18 ° .
б) Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол при вершине равен 45 ° .
Решение:
а) Сумма внешних углов правильного многоугольника равна 360 ° .
Найдем количество сторон: 360 ° :18 ° =20.
Ответ: 20 сторон.

8. Вычислите площадь кольца, если хорда АВ равна:
а) 8 см; б) 10 см.

Решение:
а)

1) ОВ - радиус внешней окружности, ОН - радиус внутренней окружности. Площадь кольца можно найти по формуле: S кольца = S внешней окружности - S внутренней окружности.

S= π *OB 2 - π *OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) Рассмотрим треугольник АВО - равнобедренный (ОА=ОВ как радиусы). ОН является в треугольнике АВО высотой и медианой, следовательно, АН=НВ=8:2= 4 см.

3) Рассмотрим треугольник ОНВ - прямоугольный: НВ 2 =ОВ 2 -ОН 2 , следовательно

ОВ 2 -ОН 2 =16.

4) Найдем площадь кольца:

S= π (OB 2 -OH 2 )=16 π см 2 .

Ответ: 16 π см 2 .

9. а) Найдите периметр правильного шестиугольника, если АС=9 см.
б) Найдите площадь правильного шестиугольника, если FA=6 см.

Решение:
а) 1) Найдем угол АВС: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) Рассмотрим треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС как стороны правильного шестиугольника).
∠ ВАС= ∠ ВСА=(180 ° -120 ° ):2=30 ° .
По теореме синусов: АС: sin ∠ ABC = AB: sin ∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :sin120;

3) Найдем периметр правильного шестиугольника:

Р=6*АВ;

10. Докажите, что в правильном восьмиугольнике площадь закрашенной части равна:
а) четверти площади восьмиугольника; б) половине площади восьмиугольника:

Решение:
а)

1) Проведем биссектрисы углов восьмиугольника, они пересекутся в точке О. Площадь восьмиугольника равна сумме площадей восьми получившихся равных треугольников, т.е. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).

2) Четырехугольник ABEF - параллелограмм (АВ//EF и АВ=EF). Диагонали параллелограмма равны: AE=BF (как диаметры описанной около восьмиугольника окружности), следовательно, ABEF - прямоугольник. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих треугольника.

3) Найдем площадь четырехугольника AFKM:

S (ABEF)= 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S (AFKM)=2* S (OEF).

4) Найдем отношение площади восьмиугольника к площади закрашенной части:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S (OEF))=4.

Что и требовалось доказать.

11. Найдите отношение площади сектора ВАС к площади закрашенной фигуры, если ВА=АС и площадь сектора ВАС равна четверти площади круга:

Решение:
а)

1) АВ=АС=2R. Угол ВАС - прямой, т.к. площадь сектора ВАС равна четверти площади круга .

2) Рассмотрим Четырехугольник АО 2 МО 1 . Он является ромбом, т.к. все стороны равны радиусу, а т.к. Один их углов равен 90°, то АО 2 МО 1 - квадрат.

S треугольника = 0,5R 2 см 2 .
S сегмента = (0,25 π - 0,5)R 2 см 2 .
S закрашенной части = 2* S сегмента = 2*(0,25 π - 0,5)R 2 = (0,5 π -1 )R 2 с м 2 .
4) Найдем площадь сектора ВАС:
S сектора = π *(2R) 2 *90:360= π R 2 с м 2 .
5) Найдем отношение площади сектора ВАС к площади закрашенной части:
π R 2 :(0,5 π -1 )R 2 = 2 π : (π-2).
Ответ: 2 π : (π-2).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Чему равна сумма внешних углов пятиугольника?

2. Чему равна площадь восьмиугольника, если площадь закрашенной области равна 20.

3. Периметр правильного четырехугольника равен 20 см. Найдите длину вписанной в него окружности.

4. Сторона АВ правильного многоугольника равна 8 см. О - центр многоугольника, угол АОВ равен 36 ° . Найдите периметр многоугольника.

5. Периметр правильного восьмиугольника равен 80 см. Найдите его меньшую диагональ.

6. В правильный треугольник вписана окружность и вокруг него описана окружность. Найдите площадь кольца, образованного окружностями, если сторона треугольника равна 8 см.

7. Найдите угол между двумя меньшими диагоналями, выходящими из одной вершины правильного семиугольника.

8. Около окружности описан правильный треугольник, и в нее же вписан правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника.

9. Выпуклый многоугольник имеет 48 сторон. Найдите число его диагоналей.

10. ABCD - квадрат. Из вершин В и С проведены окружности радиуса АВ. Найдите отношение площади закрашенной фигуры к площади квадрата:

Теорема 1 . Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Пусть ABCDEF (рис. 419) - правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность.

Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно провести окружность, которая пройдёт через три любые вершины правильного многоугольника, например через вершины Е, D и С. Пусть точка О - центр этой окружности.

Докажем, что эта окружность пройдёт и через четвёртую вершину многоугольника, например через вершину В.

Отрезки ОЕ, OD и ОС равны между собой, и каждый равен радиусу окружности. Проведём ещё отрезок ОВ; про этот отрезок сразу нельзя сказать, что он также равен радиусу окружности, это надо доказать. Рассмотрим треугольники OED и ODC, они равнобедренные и равные, следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Если внутренний угол данного многоугольника равен α , то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2 ; но если ∠4= α / 2 , то и ∠5 = α / 2 , т.е. ∠4 = ∠5.

Отсюда заключаем, что (Delta)ОСD = (Delta)ОСВ и, значит, ОВ = ОС, т. е. отрезок ОВ равен радиусу проведённой окружности. Из этого следует, что окружность пройдёт и через вершину В правильного многоугольника.

Таким же приёмом докажем,что построенная окружность пройдёт и через все остальные вершины многоугольника. Значит, эта окружность будет описанной около данного правильного многоугольника. Теорема доказана.

Теорема 2 . В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Пусть ABCDEF - правильный многоугольник (рис. 420), надо доказать, что в него можно вписать окружность.

Из предыдущей теоремы известно, что около правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть точка О - центр этой окружности.

Соединим точку Oс вершинами многоугольника. Полученные треугольники OED, ODC и т д. равны между собой, значит, равны и их высоты, проведённые из точки О, т. е. OK = OL = ОМ = ON = OP = OQ.

Поэтому окружность, описанная из точки О как из центра радиусом, равным отрезку ОК, пройдёт через точки К, L, M, N, Р и Q, и высоты треугольников будут радиусами окружности. Стороны многоугольника перпендикулярны к радиусам в этих точках, поэтому они являются касательными к этой окружности. А это значит, что построенная окружность вписана в данный правильный многоугольник.

Такое же построение можно выполнить для любого правильного многоугольника, следовательно, вписать окружность можно в любой правильный многоугольник.

Следствие. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него, имеют общий центр.

Определения .

1. Центром правильного многоугольника называется общий центр окружностей, описанной около этого многоугольника и вписанной в него.

2. Перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону, называется апофемой правильного многоугольника.

Выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности

С помощью тригонометрических функций можно выразить сторону любого правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности.

Пусть АВ - сторона правильного n -угольника, вписанного в круг радиуса ОА = R (рис).

Проведём апофему OD правильного многоугольника и рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. В этом треугольнике

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n = 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

но AB = 2AD и потому АВ = 2R sin 180° / n .

Длина стороны правильного n -угольника, вписанного в круг, обозначается обычно а n , поэтому полученную формулу можно записать так:

а n = 2R sin 180° / n .

Следствия:

1. Длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 6 = R , так как

а 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Длина стороны правильного четырёхугольника (квадрата), вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 4 = R √ 2 , так как

а 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 3 = R √ 3 , так как.

а 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Площадь правильного многоугольника

Пусть дан правильный n -угольник (рис). Требуется определить его площадь. Обозначим сторону многоугольника через а и центр через О. Соединим отрезками центр с концами какой-либо стороны многоугольника, получим треугольник, в котором проведём апофему многоугольника.

Площадь этого треугольника равна ah / 2 . Чтобы определить площадь всего многоугольника нужно площадь одного треугольника умножить на число треугольников, т. е. на n . Получим: S = ah / 2 n = ahn / 2 , но аn равняется периметру многоугольника. Обозначим его через Р.

Окончательно получаем: S = Ph / 2 . где S - площадь правильного многоугольника, Р - его периметр, h - апофема.

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему.

Другие материалы Свойства выпуклый , вписанный , равносторонний , равноугольный , изотоксальный

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника : если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Свойства

Координаты

Пусть x C {\displaystyle x_{C}} и y C {\displaystyle y_{C}} - координаты центра, а R {\displaystyle R} - радиус окружности , ϕ 0 {\displaystyle {\phi }_{0}} - угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

x i = x C + R cos ⁡ (ϕ 0 + 2 π i n) {\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)} y i = y C + R sin ⁡ (ϕ 0 + 2 π i n) {\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i = 0 … n − 1 {\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры

Пусть R {\displaystyle R} - радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности , тогда радиус вписанной окружности равен

r = R cos ⁡ π n {\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}} ,

а длина стороны многоугольника равна

a = 2 R sin ⁡ π n = 2 r t g π n {\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

N {\displaystyle n} и длиной стороны a {\displaystyle a} составляет:

S = n 4 a 2 ctg ⁡ π n {\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , вписанного в окружность радиуса R {\displaystyle R} , составляет:

S = n 2 R 2 sin ⁡ 2 π n {\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , описанного вокруг окружности радиуса r {\displaystyle r} , составляет:

S = n r 2 t g π n {\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}} (площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} равна

S = n r a 2 {\displaystyle S={\frac {nra}{2}}} ,

где r {\displaystyle r} - расстояние от середины стороны до центра, a {\displaystyle a} - длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр ( P {\displaystyle P} ) и радиус вписанной окружности ( r {\displaystyle r} ) составляет:

S = 1 2 P r {\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr} .

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L {\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

a n {\displaystyle a_{n}} - длина стороны правильного n-угольника. a n = sin ⁡ 180 n ⋅ L π {\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр P n {\displaystyle P_{n}} равен

P n = a n ⋅ n {\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n {\displaystyle n} - число сторон многоугольника.

Применение

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников .

Древнегреческие математики (Антифонт , Брисон Гераклейский , Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа . Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века . Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

Многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и все углы. Среди треугольников правильным будет равносторонний треугольник и только он. Квадрат (и только квадрат) является правильным четырехугольником. Покажем, что существуют правильные многоугольники с любым числом сторон , где . Для этого приведем два способа построения таких многоугольников.

Способ 1. Возьмем произвольную окружность и разделим ее на равных частей. Такое построение далеко не при всяком осуществимо циркулем и линейкой, но мы будем здесь считать, что такое построение сделано. Примем точки деления в их последовательном положении на окружности за вершины -угольника, вписанного в эту окружность. Докажем, что построенный -угольник - правильный. Действительно, стороны нашего многоугольника (рис. 312) суть хорды, стягиваемые равными дугами, и потому они равны между собой.

Все углы опираются на равные дуги и потому также равны. Итак, многоугольник правильный.

Способ 2. Снова разделим окружность на равных частей и проведем в точках деления касательные к окружности; ограничим каждую из касательных точками ее пересечения с касательными, проведенными в соседних точках деления. Получим правильный многоугольник, описанный около окружности (рис. 313). В самом деле, углы его все равны, так как каждый из них, как угол между касательными, измеряется полуразностью дуг, из которых меньшая всегда равна части окружности, а большая - полной окружности минус часть. Равенство сторон видно хотя бы из равенства треугольников, образованных парами полукасательных и хордами (например, треугольники и т. д.). Все они равнобедренные, имеют равные углы при вершинах и равные основания.

Два правильных -угольника с одинаковым числом сторон подобны.

Действительно, стороны их заведомо находятся в постоянной отношении, равном отношению любой пары сторон. Кроме того, по теореме о сумме углов -угольника всякий правильный -угольник имеет одни и те же углы, равные 1. Условия признака п. 224 выполнены, и -угольники подобны.

Итак, для всякого правильные -угольники подобны. Отсюда непосредственно получаем ряд следствий:

1. Два правильных -угольника с равными сторонами равны.

2. Вокруг всякого правильного -угольника можно описать окружность.

Доказательство. Возьмем какой-либо правильный многоугольник с тем же числом сторон, что данный, построенный по первому способу, т. е. вписанный в окружность. Преобразуем его подобно так, чтобы он стал равен данному. Тогда окружность, описанная вокруг него, подобно преобразуется в окружность, описанную вокруг многоугольника, равного данному.

3. В каждый правильный многоугольник можно вписать окружность.

Доказательство аналогично. Полезно, однако, провести рассуждения и несколько иначе. Мы уже знаем, что вокруг данного многоугольника можно описать окружность. Возьмем ее центр. Стороны многоугольника служат ее хордами; будучи равны между собой, они должны одинаково отстоять от центра. Поэтому окружность с тем же центром и радиусом, равным расстоянию от центра до сторон многоугольника, будет касаться всех сторон многоугольника, т. е. будет вписанной окружностью.

Итак, вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют общий центр. Он называется центром данного правильного многоугольника. Радиус описанной окружности называется радиусом многоугольника, радиус вписанной окружности его апофемой. Ясно, что апофема всегда меньше радиуса.