Урок "взаимное расположение графиков линейных функций". Видеоурок «Взаимное расположение графиков линейных функций

На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Тема: Линейная функция

Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций

Напомним, что линейной называется функция вида:

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m - некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

Рассмотрим пример:

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр - это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный - убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

и

Если но то заданные прямые параллельны.

Если и то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают - то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Рассмотрим задачи.

Пример 2 - определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 - найти графически точку пересечения прямых:

Обе функции имеют график - прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для второй функции;

Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию.

§ 1 Взаимное расположение графиков линейных функций

Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.

Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х - 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.

Или другая пара: у = х - 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?

Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:

у = х, у = х + 3 и у = х - 2.

У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.

График функции у = х - 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = -2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.

§ 2 Краткие итоги по теме урока

Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

>>Математика: Взаимное расположение графиков линейных функций

Взаимное расположение графиков

линейных функций

Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х- - 4 и у = 2х + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в § 30), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (k = 2 для всех трех прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема.

Пример 1.

Р е ш е н и е. а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем:

Прямая I 1 , служащая графиком линейной функции у - 2х - 3, проведена на рисунке 53 через точки (0; - 3) и (2; 1).
Для линейной функции имеем:

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Расположение графика функции У равно КХ плюс В на координатной плоскости напрямую зависит от значения коэффициентов К и В. Спросим: как зависит расположение графика от коэффициента В. Если Х=0, то У=В. Значит график линейной функции У равно КХ плюс В при любых значениях К и В обязательно проходит через точку с координатами (0; В). От К зависит угол, который образует прямая У равно КХ плюс В с осью Х.

Например, прямая У равно КХ плюс В при К=1 и наклонена к оси Х под углом сорок пять градусов. Это следует из того, что прямая У=Х совпадает с биссектрисами первого и третьего координатных углов. Если К больше нуля, то угол наклона прямой У равно КХ плюс В к оси Х острый. Если же К меньше нуля, то этот угол тупой. Поэтому коэффициент К называют угловым коэффициентом прямой графика функции У равно КХ плюс В.

Выясним, каково взаимное расположение графиков функций двух линейных функций: У равно К1Х плюс В1 и У равно К2Х плюс В2 на координатной плоскости. Графики этих функций прямые. Они могут пересекаться, то есть -иметь только одну общую точку, или быть параллельными, то есть - не иметь общих точек. Если К1 не равно К2, то прямые пересекаются, так как первая из них параллельна графику прямой пропорциональности У равняется К1Х, а вторая графику прямой пропорциональности У равно К2Х. А этими графиками являются две пересекающиеся прямые. Если К1 равно К2, то прямые параллельные, так как каждая из них параллельная графику прямой пропорциональности У равно КХ, где К равно К1и равно К2.

Заметим, что случаи, когда К1 равно К2 и В1 равно В2 мы не рассматриваем, так как речь идет о графиках двух различных функций. А при этом условии прямые У равно К1Х плюс В1 и У равно К2Х плюс В2 совпадают.

Итак, для любых двух линейных функций справедливо утверждение «Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, различны, то прямые пересекаются, если же угловые коэффициенты прямых одинаковы, то прямые параллельны.» На рисунку мы видим графики различных линейных функций с угловыми коэффициентами и одинаковым значением В, равным двум. Эти графики пересекаются в точке с координатами ноль и два. На следующем рисунке изображены графики линейных функций с одинаковыми угловыми коэффициентами и различными значениями В. Эти прямые параллельны друг другу.

Пример один. Найдем координаты точек пересечения графиков функций: У равно минус 3Х плюс 1 и У равно Х минус 3. Будем рассуждать так: пусть точка М с координатами Х нулевое У нулевое - искомая точка пересечения графиков данных функций. Тогда ее координаты удовлетворяют как первое, так и второе уравнению. Значит, У нулевое равное минус 3Х нулевое плюс 1 и У нулевое равное Х нулевое минус 3 - это верные числовые равенства.

Отсюда получаем, что минус 3Х нулевое плюс 1 равно Х нулевое минус 3. Тогда минус 4Х нулевое равно минус 4, и Х нулевое тогда равно 1.

Подставим значение Х нулевое равно 1 в равенство У нулевое равно минус 3Х нулевое плюс 1 или в равенство У нулевое равно Х нулевое минус 3, получим У нулевое равно минус 2. Таким образом, точка пересечения графиков функций имеет такие координаты: Х нулевое равно 1, а У нулевое равно минус 2. Заметим, что часто неизвестные координаты не обозначают другими символами. В этом случае решение выглядит так: минус 3Х плюс 1 равно Х минус 3; минус 4Х равно минус 4, а Х равно 1. У равно 1 минус 3 и равно минус 2. (Или У равно минус 3 умножить на 1 плюс 1 равно минус 2.) Ответ: точка с координатами 1 и минус 2.

Линейная функция часто используется в статистике. Рассмотрим пример. Автомобиль проехал за 10 часов расстояние, равное 800 километров. Каждый час фиксировалось расстояние от пункта отправления до автомобиля. После этого полученные достаточно разбросанные данные отмечали в координатной плоскости. Отмеченные точки не лежат на одной прямой, поскольку на разных участках дороги автомобиль ехал с разной скоростью.

Однако все полученные точки группируются около так называемой аппроксимирующей прямой. Чтобы ее построить, нужно приложить к чертежу линейку и провести наиболее подходящую прямую, содержащую вблизи себя все отмеченные точки. Проведенная прямая позволяет прогнозировать, где может оказаться автомобиль через 11, 12 и так далее часов после начала своего движения. Заметим, что в статистике существуют специальные методы расчетов аппроксимирующих прямых, но и рассмотренный метод дает вполне разумное приближение.

Алгебра, 7 класс

Тема:

На уроке используются:

Компьютер,

Презентации

Цели:

• Образовательные:

1. Отработка навыков построения графиков функции вида y=kx+b;
2. Выяснение влияния значений k и b на положение графиков;
3. Выяснение влияния значения параметра k на взаимное расположение графиков линейных функций.

• Воспитательные:

1.Воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся;

2.Умение учащихся данной группы построить на короткое время взаимодействие, исходя из особенностей задач.

• Развивающие:

1. Интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

2. Развитие осмысленного отношения к своей деятельности;

3. Развитие самостоятельности мышления: выделять главное, видеть общую закономерность и делать обобщённые выводы.

Ход урока:

(Весь урок сопровождается презентацией, что облегчает восприятие )

1.Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к уроку. Настраивает учащихся на работу.

Открывается слайд №1

Девизом к нашему уроку я хочу предложить такие слова «Каждое дело творчески, иначе зачем?»

Давайте творить.

2. Актуализация знаний

Открывается слайд №2.

Задание распределить данные функции по группам: y=x 2 , y=2x+5, y=11,y=x 3 , y=x, y=-3x-8, y=-0,5x+1,y=-12, y=-x, y=x 2 +16, y=4x-3, y=7x

• На сколько групп вы распределили данные функции? (На две)
• Какие функции отнесли к первой группе и почему? (Графиками данных функций не являются прямыми.)

Группы указанные учащиеся записывают на доске

• Какие функции отнесли ко второй группе и почему? (Графиками данных функций являются прямые.)
• Обратите внимание на вторую группу формул.
• Распределите данные функции по их записи.
• На какие группы можем распределить данные функции? (1) y=2x+5, y=-3x-8,

y=-0,5x+1, y=4x-3; 2) y=x, y=-x, y=7x; 3) y=11, y=-12.)

Как называются функции из первой группы? (линейные)

Назовите коэффициент при x в формулах этих линейных функций? (2,-3,-0,5,4)

Сколько точек достаточно для построения графиков этих функций? (двух)

Как называются функции из второй группы? (прямая пропорциональность)

Укажите коэффициент в формулах этих линейных функций? (1,-1,7)

Чему равно b в записях данных формул? (0)

Сколько точек достаточно для построения графиков этих функций? (Графики всех данных функций проходят через точку (0;0), поэтому для построения графиков этих функций достаточно найти координаты одной точки.)

Какую еще выделили группу? (постоянные)

Чему равно b в записях всех данных формул? (11,-12)

Чему равен угловой коэффициент в формулах этих линейных функций? (0)

Как могут располагаться две произвольные прямые на плоскости? (Две прямые могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать)

3. Введение в тему. Постановка учебных задач на уроке.

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая, поэтому графики двух линейных функций тоже могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать.

А теперь выясним, что нового должны узнать на уроке, что выяснить, чему научиться? (Расположение графиков линейных функций)

На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать тему урока. (Взаимное расположение графиков линейных функций)

Учитель корректирует ответы учащихся.

Давайте запишем в тетрадь тему урока: «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Открывается слайд № 3

Выясним, что должны узнать на уроке.

Попытайтесь самостоятельно поставить цель, которую вы хотите достичь.

(Возможны ответы:

Должны рассмотреть параллельность, пересечение и совпадение графиков линейных функций;

Графики, каких линейных функций параллельны, пересекаются, совпадают;

От чего зависит параллельность, пересечение, совпадение графиков линейных функций)

Открывается слайд № 4

4.Ознакомление с новым материалом.

А сейчас вы выполните графическую работу, которая поможет вам ответить на поставленные вопросы.

Открывается слайд № 5

Учитель обращает внимание на индивидуальные рабочие листы.

Задание №1:

Y=0.5x+1,5; y=0,5x; y=0,5x-2.

Задание №2:

В одной системе координат постройте графики функций:

Y=-x+3; y=1,5x+3; y=0,25x+3

Учитель знакомит учащихся с заданиями:

Построение графика функции под цифрой 3 выполняется, если уже построено по два графика в каждой группе заданий.

В итоге выполнения заданий у вас в тетради должны быть изображены две системы координат, в каждой из которых обязательно по два графика. У сильных учащихся в тетрадях возможно - по три графика.

После построения открывается слайд с построенным заданием №1.

Открывается слайд №6

Работа по чертежу.

Обратите внимание на слайд.

Что можно сказать про графики линейных функций? (они параллельны)

Что можно сказать про коэффициенты b и k в формулах? (k равны, b не равны)

Вывод? (если у линейных функций угловой коэффициент одинаковый, то их графики параллельны)

Открывается слайд №7

Работаем над заданием №2

Что можно сказать про графики линейных функций? (они пересекаются в одной точке (0;3))

Что можно сказать про коэффициенты b и k в формулах? (b равны, k не равны)

Вывод? (график линейной функции пересекает ось OY в точке (0;b))

Обратите внимание на цели, которые вы поставили в начале урока. На какой вопрос осталось ответить? (в каком случае графики двух функций совпадают)

В каком же случае графики двух функций совпадают? (графики двух функций совпадают если совпадают k и b.

5.Здоровье-сберегающая пауза.

Открывается слайд № 8 (звучит спокойная музыка)

После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник.

Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку.

Ось ординат. Раз. Два. Потянулись.

Ось абсцисс. Потянулись.

Прямая у=kx+b.

k – положительное. Наклон вправо. Потянулись.

k – отрицательное. Наклон влево. Потянулись.

И ещё раз.

Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.

6.Первичное осмысление и закрепление изученного.

Переходим к самой интересной части нашего урока.

Решая следующие задачи, в таблице ответов найдём букву. Из полученных букв попробуем составить имя великого математика.

Разобьёмся на группы. По полученному ответу в таблице каждая группа найдёт букву. Собрав все буквы вместе, мы получим имя известного математика.

Вперёд.

1 группа . Работают по карточкам индивидуально

Задание 1. При каком b функции у=-7х+ b и у=5х+4 пересекаются в точке (1;9)

Ответ: 16

Задание 2. При каком k функции у=kх+7 и у=-3х+5 пересекаются в точке (1;2).

Ответ: -5

Задание 3. Найдите сумму k и b в формуле линейной функции у = k . x + b, график которой проходит через точки с координатами (-1;-2), (1;6).

Ответ: 6

1. группа. Работа с обучающими карточками в паре или индивидуально

Обучающая карточка. 1

Ответ: 1.

Обучающая карточка. 2

Ответ: 2

1. группа. Работа с карточкой.

В одной системе координат построены графики функций

У = -0,4х и у = 2.

Определите по графику координаты точки их пересечения и найдите сумму этих координат.

Ответ -3

1. группа. Работа с учащимися.

Графически решить уравнение

3х + 4 = -2х – 1

Ответ: х=-1

Открывается слайд № 9

Таблица ответов

БЕЛНИЙЦ

Готфрид Вильгельм Лейбниц – это имя немецкого математика, который и ввёл термин «функция».

Подробнее о нём можно узнать из презентации, созданной вашим одноклассником.

Итак, презентация презентации.

Из истории.

7.Рефлексия .

Ученик допустил ошибки при построении графиков функций

У = х (рис. 8), у = -3х (рис. 9), у = 2х + 4 (рис. 10)

Докажите, что графики построены неверно (попробуйте решить задачу, не прибегая к вычислениям и к построению прямых)

Открывается слайд № 10

рис. 8

Открывается слайд № 11

рис. 9

Открывается слайд № 12

рис. 10

Открывается слайд №13.

Открывается слайд №14.

Открывается слайд №15.

Открывается слайд №16.

8.Домашнее задание.

Открывается слайд № 17

На следующем уроке мы с вами поговорим о применении линейной функции в различных жизненных ситуациях, применение линейной функции в других предметах.

Поэтому дома оглядитесь вокруг себя и, используя весь свой творческий потенциал, попробуйте найти графики линейных функций, а также линейную зависимость одной переменной от другой.

Поработайте с презентацией.

Для интересующихся математикой тема:

«Линейная зависимость в пословицах и поговорках».

• Запишите д/з

Найти графики линейных функций, а также линейную зависимость -2.
Задание №2:
В одной системе координат постройте графики функций:
y
=-
x
+3;
y
=1,5
x
+3;
y
=0,25
x
+3
у = 2х + 4
Найди ошибку! Объясни!
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Рассмотреть параллельность, пересечение и совпадение графиков линейных функций
Цель:
Ответ
Буква
8
М
16
Б
7
К
-5
Е
6
Л
-3
Н
1
И
-9
О
11
У
2
Й
4
Р
-1
Ц
Б
Е
Л
Н
И
Й
Ц
Взаимное расположение
графиков линейных функций
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Здоровье-сберегающая пауза.
После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник.
Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку.
Ось
ординат.
Раз. Два. Потянулись.
Ось
абсцисс.
Потянулись.
Прямая
у=
kx
+
b
.
k
– положительное. Наклон вправо. Потянулись.
k
– отрицательное. Наклон влево. Потянулись.
И ещё раз.
Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.
Для интересующихся математикой
:
«Линейная зависимость в пословицах и поговорках».
Запишите
д
з
- Найти графики линейных функций, а также линейную зависимость
одной переменной от другой вокруг себя, в других предметах.
- Поработать с презентацией.
Домашнее задание
Распределите данные функции по группам
:
y
=
x
2
y
=2
x
+5
y
=11
y
=
x
3
y
=
x
y
=-3
x
-8
y
=-0,5
x
+1
y
=-12
y
=-
x
y
=
x
2
+16
y
=4
x
-3
y
=7
x

Что можно сказать про графики линейных функций?
Что можно сказать про коэффициенты
b
и
k
в формулах?
Вывод?
у = -3х
Найди ошибку! Объясни!