Квадраты двузначных чисел есть ли приложение. Красота чисел. Как быстро вычислять в уме

Рассмотрим теперь возведение в квадрат двучлена и, применяясь к арифметической точке зрения, будем говорить о квадрате суммы, т. е. (a + b)² и о квадрате разности двух чисел, т. е. (a – b)².

Так как (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

то найдем: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², т. е.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Этот результат полезно запомнить и в виде вышеописанного равенства и словами: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс произведение двойки на первое число и на второе число, плюс квадрат второго числа.

Зная этот результат, мы можем сразу написать, напр.:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Разберем второй из этих примеров. Нам требуется возвести в квадрат сумму двух чисел: первое число есть 3ab, второе 1. Должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (3ab)², что равно 9a²b²; 2) произведение двойки на первое число и на второе, т. е. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) квадрат 2-го числа, т. е. 1² = 1 – все эти три члена должно сложить между собою.

Совершенно также получим формулу для возведения в квадрат разности двух чисел, т. е. для (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b² ,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа .

Зная этот результат, мы можем сразу выполнять возведение в квадрат двучленов, представляющих с точки зрения арифметики разность двух чисел.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 и т. п.

Поясним 2-ой пример. Здесь мы имеем в скобках разность двух чисел: первое число 5ab 3 и второе число 3a 2 b. В результате должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6 , 2) произведение двойки на 1-ое и на 2-ое число, т. е. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 и 3) квадрат второго числа, т. е. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; первый и третий члены надо взять с плюсом, а 2-ой с минусом, получим 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 . В пояснение 4-го примера заметим лишь, что 1) (a n-1)2 = a 2n-2 … надо показателя степени умножить на 2 и 2) произведение двойки на 1-ое число и на 2-ое = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Если встать на точку зрения алгебры, то оба равенства: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² и 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² выражают одно и тоже, а именно: квадрат двучлена равен квадрату первого члена, плюс произведение числа (+2) на первый член и на второй, плюс квадрат второго члена. Это ясно, потому что наши равенства можно переписать в виде:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

В некоторых случаях так именно и удобно толковать полученные равенства:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Здесь возводится в квадрат двучлен, первый член которого = –4a и второй = –3b. Далее мы получим (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² и окончательно:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Возможно было бы также получить и запомнить формулу для возведения в квадрат трехчлена, четырехчлена и вообще любого многочлена. Однако, мы этого делать не будем, ибо применять эти формулы приходится редко, а если понадобится какой-либо многочлен (кроме двучлена) возвести в квадрат, то станем сводить дело к умножению. Например:

31. Применим полученные 3 равенства, а именно:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

к арифметике.

Пусть надо 41 ∙ 39. Тогда мы можем это представить в виде (40 + 1) (40 – 1) и свести дело к первому равенству – получим 40² – 1 или 1600 – 1 = 1599. Благодаря этому, легко выполнять в уме умножения вроде 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 и т. д.

Пусть надо 41 ∙ 41; это все равно, что 41² или (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Также 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Если надо 37 ∙ 37, то это равно (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Подобные умножения (или возведение в квадрат двузначных чисел) легко выполнять, при некотором навыке, в уме.

Как известно, площадь прямоугольника вычисляется перемножением длин двух его различных сторон. У квадрата все стороны равны, поэтому нужно перемножить сторону саму на себя. Отсюда и возникло выражение "возвести в квадрат". Пожалуй, самый простой способ возвести любое число в квадрат – взять обычный калькулятор и перемножить нужное число само на себя. Если под рукой нет калькулятора – можно использовать встроенный калькулятор в мобильном телефоне. Для более продвинутых пользователей можно посоветовать воспользоваться приложением Office Microsoft Excel, особенно, если подобные вычисления нужно проводить достаточно часто. Для этого необходимо выделить произвольную ячейку, например G7, и вписать в нее формулу =F7*F7. Далее в ячейку F7 ввести любое число, а в ячейке G7 получить результат.

Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 5. Для возведения в квадрат этого числа нужно отбросить последнюю цифру числа. Полученное число необходимо перемножить с числом на 1 большим. Затем нужно дописать число 25 справа после полученного результата. Пример. Пусть требуется получить квадрат числа 35. После того, как будет отброшена последняя цифра 5, остается число 3. Добавляется 1- получается число 4.3х4=12. Дописывается 25 и получается результат 1225. 35х35=3*4 дописать 25=1225.

Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 6. Этот алгоритм подойдет для тех, кто разобрался с вопросом, как возвести в квадрат число, оканчивающиеся на цифру 5. Как известно из математики, квадрат двучлена можно рассчитать по формуле (А+В) х(А+В) =АхА+2хАхВ + ВхВ. В случае с возведением в квадрат числа A, последняя цифра которого 6, это число можно предтставить как А=В+1, где В - число, которое на 1 меньше числа А, поэтому его последняя цифра - 5. В этом случае формулу можно представить в более простом виде (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Пусть для примера это число будет 16. Решение 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Устное правило: для того, чтобы найти квадрат числа, заканчивающегося на 6: нужно предыдущее число возвести в квадрат, добавить два раза предыдущее число и добавить 1.

Как возвести в квадрат числа от 11 до 29. Для возведения в квадрат чисел от 11 до 19, нужно к исходному числу добавить число единиц, получившийся результат умножить на 10 и приписать справа возведенное в квадрат число единиц. Пример. Возвести в квадрат 13. Число единиц в этом числе – 3. Далеетребуется вычислить промежуточное число 13+3=16. Затем умножить его на 10. Получается 160. Квадрат числа единиц 3х3=9. Итоговый результат 169. Для чисел третьего десятка применяется аналогичный алгоритм, только умножать нужно на 20 и квадрат единиц прибавлять, а не приписывать. Пример. Вычислить квадрат числа 24. Находится число единиц – 4. Вычисляется промежуточное число – 24+4=28. После умножения на 20 получается 560. Квадрат числа единиц 4х4=16. Итоговый результат 560+16=576.

Как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Алгоритм достаточно прост. Сначала нужно найти, насколько данное число больше или меньше середины диапазона числа 50. К полученному результату добавить (если число больше 50) или вычесть (если число меньше 50) 25. Полученную сумму (или разность) умножить на 100. К полученному результату добавить квадрат разности между числом, квадрат которого нужно найти, и числом 50. Пример: нужно найти квадрат числа 46. Разность 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Итог: 46х46=2116.

Еще один прием как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Для того, чтобы вычислить квадрат числа от 40 до 49, необходимо число единиц увеличить на 15, полученный результат умножить на 100, справа от него приписать квадрат разности между последней цифрой заданного числа и 10. Пример. Вычислить квадрат числа 42. Число единиц этого числа - 2. Добавляется 15: 2+15=17. Находится разность этого же числа единиц и 10. Она равна 8. Возводится в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписывается справа к предыдущему результату 17. Получается итоговое число 1764. Если число находится в диапазоне от 51 до 59, то для возведения его в квадрат используется тот же алгоритм, только к числу единиц нужно прибавлять 25.

Как возводить в квадрат в уме любое двузначное число. Если человек знает, как возводить в квадрат однозначные числа, другими словами - знает таблицу умножения, то у него не возникнет проблем при вычислении квадратов двузначных чисел. Пример. Нужно возвести двузначное число 36 в квадрат. Это число умножается на количество своих десятков. 36х3=8. Далее нужно найти произведение цифр числа: 3х6=18. Затем сложить оба результата. 108+18=126. Следующий шаг: нужно возвести в квадрат единицы исходного числа: 6х6=36. В полученном произведении определяется количество десятков – 3 и добавляется к предыдущему результату: 126+3=129. И последний шаг. Справа от полученного результата приписывается количество единиц исходного числа, в данном примере - 6. Конечный результат – число 1296.

Существует множество способов как возводить в квадрат различные числа. Некоторые из приведенных алгоритмов достаточно простые, некоторые – достаочно громоздкие и на первый взгляд непонятные. Многими из них люди пользуются веками. Каждый человек может сам разработать свои собственные более понятные и интересные алгоритмы. Но если есть проблемы с устным счетом или возникли другие трудности – придется привлечь технические средства.

В книге «Магия чисел» рассказывается о десятках трюков, которые упрощают привычные математические операции. Оказалось, что умножение и деление в столбик - это прошлый век, а есть гораздо более эффективные способы деления в уме.

Вот 10 самых интересных и полезных трюков.

Умножение «3 на 1» в уме

Умножение трёхзначных чисел на однозначные - это очень простая операция. Всё, что нужно сделать, - это разбить большую задачу на несколько маленьких.

Пример : 320 × 7

1. Разбиваем число 320 на два более простых числа: 300 и 20.
2. Умножаем 300 на 7 и 20 на 7 по отдельности (2 100 и 140).
3. Складываем получившиеся числа (2 240).

Возведение в квадрат двузначных чисел

Возводить в квадрат двузначные числа не намного сложнее. Нужно разбить число на два и получить приближенный ответ.

Пример : 41^2

1. Вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42.
2. Умножаем два получившихся числа, воспользовавшись предыдущим советом (40 × 42 = 1 680).
3. Прибавляем квадрат числа, на величину которого мы уменьшали и увеличивали 41 (1 680 + 1^2 = 1 681).

Ключевое правило здесь - превратить искомое число в пару других чисел, которые перемножить гораздо проще. К примеру, для числа 41 это числа 42 и 40, для числа 77 - 84 и 70. То есть мы вычитаем и прибавляем одно и то же число.

Мгновенное возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

С квадратами чисел, оканчивающихся на 5, вообще не нужно напрягаться. Всё, что нужно сделать, - это умножить первую цифру на число, которое на единицу больше, и добавить в конец числа 25.

Пример : 75^2

Деление на однозначное число

Деление в уме - это достаточно полезный навык. Задумайтесь о том, как часто мы делим числа каждый день. К примеру, счёт в ресторане.

Пример : 675: 8

1. Найдём приближенные ответы, умножив 8 на удобные числа, которые дают крайние результаты (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наш ответ - 80 с хвостиком.
2. Вычтем 640 из 675. Получив число 35, нужно разделить его на 8 и получить 4 с остатком 3.
3. Наш финальный ответ - 84,3.

Мы получаем не максимально точный ответ (правильный ответ - 84,375), но согласитесь, что даже такого ответа будет более чем достаточно.

Простое получение 15%

Чтобы быстро узнать 15% от любого числа, нужно сначала посчитать 10% от него (перенеся запятую на один знак влево), затем поделить получившееся число на 2 и прибавить его к 10%.

Пример : 15% от 650

1. Находим 10% - 65.
2. Находим половину от 65 - это 32,5.
3. Прибавляем 32,5 к 65 и получаем 97,5.

Банальный трюк

Пожалуй, все мы натыкались на такой трюк:

Задумайте любое число. Умножьте его на 2. Прибавьте 12. Разделите сумму на 2. Вычтите из неё исходное число.

Вы получили 6, верно? Что бы вы ни загадали, вы всё равно получите 6. И вот почему:

1. 2x (удвоить число).
2. 2x + 12 (прибавить 12).
3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (разделить на 2).
4. x + 6 − x (вычесть исходное число).

Этот трюк построен на элементарных правилах алгебры. Поэтому, если вы когда-нибудь услышите, что кто-то его загадывает, натяните свою самую надменную усмешку, сделайте презрительный взгляд и расскажите всем разгадку. 🙂

Магия числа 1 089

Этот трюк существует не одно столетие.

Запишите любое трёхзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (к примеру, 765 или 974). Теперь запишите его в обратном порядке и вычтите его из исходного числа. К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.

Какое бы число вы ни выбрали, в результате получите 1 089.

Быстрые кубические корни

Как только вы запомните эти значения, находить кубический корень из любого числа будет элементарно просто.

Пример : кубический корень из 19 683

1. Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+.
2. Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба.
3. Так как последняя цифра в задаче - 3 (19 683), это соответствует 343 = 7^3. Следовательно, последняя цифра ответа - 7.
4. Ответ - 27.

Примечание: трюк работает только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.

Правило 70

Чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, нужно разделить число 70 на годовую процентную ставку.

Пример : число лет, необходимое для удвоения денег с годовой процентной ставкой 20%.

70: 20 = 3,5 года

Правило 110

Чтобы найти число лет, необходимых для утроения денег, нужно разделить число 110 на годовую процентную ставку.

Пример : число лет, необходимое для утроения денег с годовой процентной ставкой 12%.

110: 12 = 9 лет

Математика - волшебная наука. Если даже такие простые трюки удивляют, то какие ещё фокусы можно придумать?

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 числа)

Для чисел от 50 до 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:

Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».

Для квадратов, соответственно, еще проще.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(от sielover)

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна - буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Одним из наиболее частых математических действий, применяемых в инженерных и других вычислениях, является возведение числа во вторую степень, которую по-другому называют квадратной. Например, данным способом рассчитывается площадь объекта или фигуры. К сожалению, в программе Excel нет отдельного инструмента, который возводил бы заданное число именно в квадрат. Тем не менее, эту операцию можно выполнить, использовав те же инструменты, которые применяются для возведения в любую другую степень. Давайте выясним, как их следует использовать для вычисления квадрата от заданного числа.

Как известно, квадрат числа вычисляется его умножением на самого себя. Данные принципы, естественно, лежат в основе вычисления указанного показателя и в Excel. В этой программе возвести число в квадрат можно двумя способами: использовав знак возведения в степень для формул «^» и применив функцию СТЕПЕНЬ . Рассмотрим алгоритм применения данных вариантов на практике, чтобы оценить, какой из них лучше.

Способ 1: возведение с помощью формулы

Прежде всего, рассмотрим самый простой и часто используемый способ возведения во вторую степень в Excel, который предполагает использование формулы с символом «^» . При этом, в качестве объекта, который будет возведен в квадрат, можно использовать число или ссылку на ячейку, где данное числовое значение расположено.

Общий вид формулы для возведения в квадрат следующий:

В ней вместо «n» нужно подставить конкретное число, которое следует возвести в квадрат.

Посмотрим, как это работает на конкретных примерах. Для начала возведем в квадрат число, которое будет составной частью формулы.

Теперь давайте посмотрим, как возвести в квадрат значение, которое расположено в другой ячейке.

Способ 2: использование функции СТЕПЕНЬ

Также для возведения числа в квадрат можно использовать встроенную функцию Excel СТЕПЕНЬ . Данный оператор входит в категорию математических функций и его задачей является возведение определенного числового значения в указанную степень. Синтаксис у функции следующий:

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргумент «Число» может представлять собой конкретное число или ссылку на элемент листа, где оно расположено.

Аргумент «Степень» указывает на степень, в которую нужно возвести число. Так как перед нами поставлен вопрос возведения в квадрат, то в нашем случае данный аргумент будет равен 2 .

Теперь посмотрим на конкретном примере, как производится возведение в квадрат с помощью оператора СТЕПЕНЬ .

Также для решения поставленной задачи вместо числа в виде аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой оно расположено.